f(x, y)=e^-(x+y), x>0, y>0
encontre a função densidade de probabilidade das variáveis
12a) S=X+Y;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma função de densidade conjunta com e . O que queremos é encontrar a função de densidade de probabilidade da variável . Isso envolve entender como somar duas variáveis aleatórias e determinar como a nova variável se comporta.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para encontrar a densidade de fS(s) = integral0^s f(x, s - x) , dx , precisamos integrar a função de densidade conjunta sobre todas as combinações de e que somam . Matemáticamente, isso é expresso como:
Aqui, estamos varrendo todos os valores possíveis de que, quando somados a , dão o valor .

Passo 3

Agora, substituímos a função de densidade conjunta fS(s) = integral0^s e^-(x + (s - x)) , dx na integral:
e^-(x + s - x) = e^-s
Simplificando dentro do expoente:
fS(s) = e^-s integral0^s dx
Então, a integral fica:

Passo 4

A integral fS(s) = e^-s cdot s é simples de resolver. Ela representa a área sob a curva de de 0 até , que é apenas igual a . Portanto:

Passo 5

Finalmente, arrumando a expressão, temos a função de densidade de fS(s) = s , e^-s, s > 0 :

Resposta

A função densidade de probabilidade de fS(s) = s , e^-s, s > 0 é:

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