encontre a função densidade de probabilidade das variáveis
12a)
;
12a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma função de densidade conjunta
com
e
. O que queremos é encontrar a função de densidade de probabilidade da variável
. Isso envolve entender como somar duas variáveis aleatórias e determinar como a nova variável se comporta.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para encontrar a densidade de
, precisamos integrar a função de densidade conjunta sobre todas as combinações de
e
que somam
. Matemáticamente, isso é expresso como:
Aqui, estamos varrendo todos os valores possíveis de
que, quando somados a
, dão o valor
.
Passo 3
Agora, substituímos a função de densidade conjunta
na integral:
Simplificando dentro do expoente:
Então, a integral fica:
Passo 4
A integral
é simples de resolver. Ela representa a área sob a curva de
de 0 até
, que é apenas igual a
. Portanto:
Passo 5
Finalmente, arrumando a expressão, temos a função de densidade de
:
Resposta
A função densidade de probabilidade de
é: