Mostre que
(a)
;
(a)
Passo 1
Vamos analisar a expressão que queremos provar:
. Aqui estamos trabalhando com coeficientes binomiais, que aparecem em várias áreas da matemática, como combinatória e álgebra. Para resolver isso, vamos usar a propriedade dos coeficientes binomiais, conhecida também como Identidade de Pascal.
Passo 2
Primeiro, lembre que
representa o número de maneiras de escolher
elementos de um conjunto com
elementos. Da mesma forma,
é o número de maneiras de escolher
elementos do mesmo conjunto.
Passo 3
Agora, vamos pensar no lado direito da equação,
. Isso representa o número de maneiras de escolher
elementos de um conjunto com
elementos.
Passo 4
Imaginemos que temos um conjunto com
elementos, e queremos escolher
deles. Podemos separar esse conjunto em um elemento especial e os outros
elementos.
Passo 5
Então, ao escolher
elementos, podemos ou incluir o elemento especial ou não. Se incluirmos, precisamos escolher
elementos dos
restantes, o que dá
. Se não incluirmos o elemento especial, precisamos escolher
elementos dos
restantes, o que dá
.
Passo 6
Somando essas duas possibilidades, temos
, que deve ser igual ao total de maneiras de escolher
elementos do conjunto original com
elementos.
Resposta
Portanto,
está comprovado.