Mostre que
(a) binomnp+binomnp+1=binomn+1p+1

Passo 1

Vamos analisar a expressão que queremos provar: . Aqui estamos trabalhando com coeficientes binomiais, que aparecem em várias áreas da matemática, como combinatória e álgebra. Para resolver isso, vamos usar a propriedade dos coeficientes binomiais, conhecida também como Identidade de Pascal.

Passo 2

Primeiro, lembre que representa o número de maneiras de escolher elementos de um conjunto com elementos. Da mesma forma, é o número de maneiras de escolher elementos do mesmo conjunto.

Passo 3

Agora, vamos pensar no lado direito da equação, . Isso representa o número de maneiras de escolher elementos de um conjunto com elementos.

Passo 4

Imaginemos que temos um conjunto com elementos, e queremos escolher deles. Podemos separar esse conjunto em um elemento especial e os outros elementos.

Passo 5

Então, ao escolher elementos, podemos ou incluir o elemento especial ou não. Se incluirmos, precisamos escolher elementos dos restantes, o que dá . Se não incluirmos o elemento especial, precisamos escolher elementos dos restantes, o que dá .

Passo 6

Somando essas duas possibilidades, temos , que deve ser igual ao total de maneiras de escolher elementos do conjunto original com elementos.

Resposta

Portanto, está comprovado.

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