A altura dos estudantes de uma universidade tem distribuição normal com média 175 cm e desvio padrão 8 cm . Pede-se:
a) Considerando uma amostra de 25 estudantes, qual a probabilidade de que a média amostral seja maior do que 173 cm ?
b) Considerando uma amostra de 25 estudantes, qual a probabilidade de que a média amostral esteja entre 170 e 176 cm ?
c) Considerando uma amostra de 15 estudantes, qual a probabilidade de que a média amostral esteja entre 172 e 178 cm ?
d) Considerando uma amostra de 35 estudantes, qual a probabilidade de que a média amostral seja menor do que 173 cm ?
e) Qual deve ser a altura média dos estudantes, de modo que em 90 % das vezes a média amostral seja inferior a este valor?
f) Qual deve ser a altura média dos estudantes, de modo que em 75 % das vezes a média amostral seja superior a este valor?

Passo 1

Beleza, vamos resolver a parte a) desse exercício. A questão fala sobre a altura dos estudantes que segue uma distribuição normal com média de 175 cm e desvio padrão de 8 cm. Queremos saber a probabilidade de que, em uma amostra de 25 estudantes, a média das alturas seja maior que 173 cm. Para isso, vamos usar a distribuição amostral da média.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar que a distribuição da média amostral também é normal, com a mesma média da população, ou seja, sigmabarx = sigmaraizn = 8raiz25 = 85 = 1,6 , cm cm, e o desvio padrão da média amostral é igual ao desvio padrão da população dividido pela raiz quadrada do tamanho da amostra ( ). Então, vamos calcular o erro padrão ( ):

Passo 3

Agora, queremos encontrar a probabilidade de que a média amostral seja maior que 173 cm. Para isso, vamos calcular o valor de z = barx - musigmabarx correspondente a 173 cm usando a fórmula:
z = 173 - 1751,6 = -21,6 = -1,25
Substituindo os valores:

Passo 4

O valor de nos diz quantos desvios padrão a média de 173 cm está abaixo da média populacional. Agora, queremos a probabilidade de que a média amostral seja maior que 173 cm, ou seja, .
Usando a tabela da distribuição normal padrão ou uma calculadora, encontramos a área à direita de .

Passo 5

A probabilidade de é igual a 0,8944 (ou 89,44%). Isso significa que há uma probabilidade de 89,44% de que a média das alturas em uma amostra de 25 estudantes seja maior que 173 cm.

Passo 6

Agora, vamos para a parte b). Queremos determinar a probabilidade de que, em uma amostra de 25 estudantes, a média das alturas esteja entre 170 cm e 176 cm. Continuamos com a distribuição normal e vamos usar o erro padrão que calculamos antes ( cm).

Passo 7

Primeiro, calculamos os valores de z1 = 170 - 1751,6 = -51,6 approx -3,125 para ambos os extremos: 170 cm e 176 cm.
Para 170 cm:
z2 = 176 - 1751,6 = 11,6 approx 0,625
Para 176 cm:

Passo 8

Agora, queremos encontrar , que corresponde a .

Passo 9

Usando a tabela da distribuição normal padrão:
  • A probabilidade até é aproximadamente 0,7340.
  • A probabilidade até é aproximadamente 0,0009.
Então, a probabilidade desejada é ou 73,31%.

Passo 10

Vamos para a parte c). Agora, a amostra é de 15 estudantes, e queremos saber a probabilidade de que a média das alturas esteja entre 172 cm e 178 cm. Como o tamanho da amostra mudou, precisamos recalcular o erro padrão.

Passo 11

Calculamos o novo erro padrão ( sigmabarx = 8raiz15 approx 83,87298 approx 2,0656 , cm ) para :

Passo 12

Agora, calculamos os valores de z1 = 172 - 1752,0656 approx -32,0656 approx -1,454 para 172 cm e 178 cm.
Para 172 cm:
z2 = 178 - 1752,0656 approx 32,0656 approx 1,454
Para 178 cm:

Passo 13

Queremos encontrar , que é .

Passo 14

Consultando a tabela de :
  • A probabilidade até é aproximadamente 0,9273.
  • A probabilidade até é aproximadamente 0,0732.
Então, a probabilidade desejada é ou 85,41%.

Passo 15

Vamos para a parte d). Agora, com uma amostra de 35 estudantes, queremos saber a probabilidade de que a média amostral seja menor que 173 cm. Vamos calcular o erro padrão para .

Passo 16

Calculando o erro padrão ( sigmabarx = 8raiz35 approx 85,9161 approx 1,352 , cm ):

Passo 17

Calculamos o valor de z = 173 - 1751,352 approx -21,352 approx -1,478 para 173 cm:

Passo 18

Queremos encontrar , que corresponde a .

Passo 19

Consultando a tabela de :
  • A probabilidade até é aproximadamente 0,0693.

Passo 20

Passando para a parte e). Aqui, precisamos encontrar a altura média que garante que, em 90% das vezes, a média amostral seja inferior a esse valor. Vamos trabalhar com a distribuição normal inversa.

Passo 21

Primeiro, determinamos o valor de que corresponde a uma probabilidade acumulada de 90%. Usando a tabela de , encontramos que para 90%.

Passo 22

Usamos a fórmula da média amostral:
barx = mu + z cdot sigmabarx
Aqui, queremos encontrar sigmabarx = 8raiz25 = 1,6 , cm , assumindo que cm, cm, e precisamos saber o tamanho da amostra. Como não foi especificado, assumiremos novamente (como nas partes anteriores). Então:

Passo 23

Substituindo os valores:
barx = 175 + 1,2816 cdot 1,6 approx 175 + 2,0506 approx 177,05 , cm

Passo 24

Portanto, a altura média deve ser aproximadamente 177,05 cm para que, em 90% das vezes, a média amostral seja inferior a esse valor.

Passo 25

Finalmente, vamos para a parte f). Precisamos encontrar a altura média tal que, em 75% das vezes, a média amostral seja superior a esse valor. Isso também envolve a distribuição normal inversa.

Passo 26

Primeiro, identificamos o valor de que corresponde a uma probabilidade acumulada de 25% (já que queremos 75% acima). Da tabela de , para 25%.

Passo 27

Usamos novamente a fórmula da média amostral:
barx = mu + z cdot sigmabarx
Assumindo sigmabarx = 8raiz25 = 1,6 , cm :

Passo 28

Substituindo os valores:
barx = 175 + (-0,6745) cdot 1,6 approx 175 - 1,0792 approx 173,92 , cm

Passo 29

Portanto, a altura média deve ser aproximadamente 173,92 cm para que, em 75% das vezes, a média amostral seja superior a esse valor.

Resposta

A altura média dos estudantes deve ser aproximadamente 173,92 cm para que, em 75% das vezes, a média amostral seja superior a esse valor.

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