A altura dos estudantes de uma universidade tem distribuição normal com média 175 cm e desvio padrão 8 cm . Pede-se:
a) Considerando uma amostra de 25 estudantes, qual a probabilidade de que a média amostral seja maior do que 173 cm ?
b) Considerando uma amostra de 25 estudantes, qual a probabilidade de que a média amostral esteja entre 170 e 176 cm ?
c) Considerando uma amostra de 15 estudantes, qual a probabilidade de que a média amostral esteja entre 172 e 178 cm ?
d) Considerando uma amostra de 35 estudantes, qual a probabilidade de que a média amostral seja menor do que 173 cm ?
e) Qual deve ser a altura média dos estudantes, de modo que em 90 % das vezes a média amostral seja inferior a este valor?
f) Qual deve ser a altura média dos estudantes, de modo que em 75 % das vezes a média amostral seja superior a este valor?
a) Considerando uma amostra de 25 estudantes, qual a probabilidade de que a média amostral seja maior do que 173 cm ?
b) Considerando uma amostra de 25 estudantes, qual a probabilidade de que a média amostral esteja entre 170 e 176 cm ?
c) Considerando uma amostra de 15 estudantes, qual a probabilidade de que a média amostral esteja entre 172 e 178 cm ?
d) Considerando uma amostra de 35 estudantes, qual a probabilidade de que a média amostral seja menor do que 173 cm ?
e) Qual deve ser a altura média dos estudantes, de modo que em 90 % das vezes a média amostral seja inferior a este valor?
f) Qual deve ser a altura média dos estudantes, de modo que em 75 % das vezes a média amostral seja superior a este valor?
Passo 1
Beleza, vamos resolver a parte a) desse exercício. A questão fala sobre a altura dos estudantes que segue uma distribuição normal com média de 175 cm e desvio padrão de 8 cm. Queremos saber a probabilidade de que, em uma amostra de 25 estudantes, a média das alturas seja maior que 173 cm. Para isso, vamos usar a distribuição amostral da média.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar que a distribuição da média amostral também é normal, com a mesma média da população, ou seja,
cm, e o desvio padrão da média amostral é igual ao desvio padrão da população dividido pela raiz quadrada do tamanho da amostra (
). Então, vamos calcular o erro padrão (
):
Passo 3
Agora, queremos encontrar a probabilidade de que a média amostral seja maior que 173 cm. Para isso, vamos calcular o valor de
correspondente a 173 cm usando a fórmula:
Substituindo os valores:
Passo 4
O valor de
nos diz quantos desvios padrão a média de 173 cm está abaixo da média populacional. Agora, queremos a probabilidade de que a média amostral seja maior que 173 cm, ou seja,
.
Usando a tabela da distribuição normal padrão ou uma calculadora, encontramos a área à direita de
.
Passo 5
A probabilidade de
é igual a 0,8944 (ou 89,44%). Isso significa que há uma probabilidade de 89,44% de que a média das alturas em uma amostra de 25 estudantes seja maior que 173 cm.
Passo 6
Agora, vamos para a parte b). Queremos determinar a probabilidade de que, em uma amostra de 25 estudantes, a média das alturas esteja entre 170 cm e 176 cm. Continuamos com a distribuição normal e vamos usar o erro padrão que calculamos antes (
cm).
Passo 7
Primeiro, calculamos os valores de
para ambos os extremos: 170 cm e 176 cm.
Para 170 cm:
Para 176 cm:
Passo 8
Agora, queremos encontrar
, que corresponde a
.
Passo 9
Usando a tabela da distribuição normal padrão:
- A probabilidade até
é aproximadamente 0,7340. - A probabilidade até
é aproximadamente 0,0009.
Então, a probabilidade desejada é
ou 73,31%.
Passo 10
Vamos para a parte c). Agora, a amostra é de 15 estudantes, e queremos saber a probabilidade de que a média das alturas esteja entre 172 cm e 178 cm. Como o tamanho da amostra mudou, precisamos recalcular o erro padrão.
Passo 11
Calculamos o novo erro padrão (
) para
:
Passo 12
Agora, calculamos os valores de
para 172 cm e 178 cm.
Para 172 cm:
Para 178 cm:
Passo 13
Queremos encontrar
, que é
.
Passo 14
Consultando a tabela de
:
- A probabilidade até
é aproximadamente 0,9273. - A probabilidade até
é aproximadamente 0,0732.
Então, a probabilidade desejada é
ou 85,41%.
Passo 15
Vamos para a parte d). Agora, com uma amostra de 35 estudantes, queremos saber a probabilidade de que a média amostral seja menor que 173 cm. Vamos calcular o erro padrão para
.
Passo 16
Calculando o erro padrão (
):
Passo 17
Calculamos o valor de
para 173 cm:
Passo 18
Queremos encontrar
, que corresponde a
.
Passo 19
Consultando a tabela de
:
- A probabilidade até
é aproximadamente 0,0693.
Passo 20
Passando para a parte e). Aqui, precisamos encontrar a altura média que garante que, em 90% das vezes, a média amostral seja inferior a esse valor. Vamos trabalhar com a distribuição normal inversa.
Passo 21
Primeiro, determinamos o valor de
que corresponde a uma probabilidade acumulada de 90%. Usando a tabela de
, encontramos que
para 90%.
Passo 22
Usamos a fórmula da média amostral:
Aqui, queremos encontrar
, assumindo que
cm,
cm, e precisamos saber o tamanho da amostra. Como não foi especificado, assumiremos novamente
(como nas partes anteriores). Então:
Passo 23
Substituindo os valores:
Passo 24
Portanto, a altura média deve ser aproximadamente 177,05 cm para que, em 90% das vezes, a média amostral seja inferior a esse valor.
Passo 25
Finalmente, vamos para a parte f). Precisamos encontrar a altura média tal que, em 75% das vezes, a média amostral seja superior a esse valor. Isso também envolve a distribuição normal inversa.
Passo 26
Primeiro, identificamos o valor de
que corresponde a uma probabilidade acumulada de 25% (já que queremos 75% acima). Da tabela de
,
para 25%.
Passo 27
Usamos novamente a fórmula da média amostral:
Assumindo
:
Passo 28
Substituindo os valores:
Passo 29
Portanto, a altura média deve ser aproximadamente 173,92 cm para que, em 75% das vezes, a média amostral seja superior a esse valor.
Resposta
A altura média dos estudantes deve ser aproximadamente 173,92 cm para que, em 75% das vezes, a média amostral seja superior a esse valor.