Uma população de 5 elementos pertencem ao conjunto A=2 ; 3 ; 6 ; 8 ; 11. Considere todas as amostras possíveis que dela possam ser retiradas com 2 elementos e sem reposição. Determine:
a) a média e a variância da população.
b) a distribuição amostral da média, em forma tabular.
c) Calcule sua média e sua variância a partir da distribuição obtida em (b).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Temos uma população com 5 elementos: . O conteúdo que vamos usar aqui é estatística básica, especificamente média e variância, além de distribuição amostral. Vamos precisar calcular a média e a variância da população, identificar todas as amostras possíveis de 2 elementos sem reposição, e depois trabalhar com a distribuição amostral dessas médias.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a média da população. A média é a soma de todos os elementos dividida pelo número de elementos.
Média = 2 + 3 + 6 + 8 + 115 é
Média = 305 = 6 é

Passo 3

Agora, vamos calcular a variância da população. A variância mede o quanto os valores estão espalhados em relação à média. A fórmula da variância populacional é:
sigma^2 = sum (xi - mu)^2N
Onde:
  • (2 - 6)^2 = 16 são os elementos da população,
  • (3 - 6)^2 = 9 é a média,
  • (6 - 6)^2 = 0 é o número de elementos.
Vamos calcular cada parte:
(8 - 6)^2 = 4
(11 - 6)^2 = 25
16 + 9 + 0 + 4 + 25 = 54
sigma^2 = 545 = 10,8
Somando tudo:
Dividindo pela quantidade de elementos:

Passo 4

Pronto, já resolvemos a parte (a). Vamos para a parte (b), que pede a distribuição amostral da média. Isso significa que vamos listar todas as combinações possíveis de 2 elementos da população e calcular a média de cada amostra.
As combinações possíveis são:
  1. (2, 3)
  2. (2, 6)
  3. (2, 8)
  4. (2, 11)
  5. (3, 6)
  6. (3, 8)
  7. (3, 11)
  8. (6, 8)
  9. (6, 11)
  10. (8, 11)
Agora, vamos calcular a média de cada amostra:
Vamos organizar isso em uma tabela:
Amostra Média
(2, 3) 2,5
(2, 6) 4
(2, 8) 5
(2, 11) 6,5
(3, 6) 4,5
(3, 8) 5,5
(3, 11) 7
(6, 8) 7
(6, 11) 8,5
(8, 11) 9,5

Passo 5

Agora, na parte ©, vamos calcular a média e a variância a partir dessa distribuição amostral que montamos.
Primeiro, a média da distribuição amostral é a média das médias das amostras:
Média Amostral = 2,5 + 4 + 5 + 6,5 + 4,5 + 5,5 + 7 + 7 + 8,5 + 9,510 é
Média Amostral = 6010 = 6 é
Interessante notar que a média amostral coincide com a média da população, que faz sentido porque estamos considerando todas as possíveis amostras.
Agora, vamos calcular a variância da distribuição amostral. Usamos a mesma fórmula da variância, mas agora com as médias das amostras:
s^2 = sum (mi - mu)^2n
Calculando cada parte:
(2,5 - 6)^2 = 12,25
(4 - 6)^2 = 4
(5 - 6)^2 = 1
(6,5 - 6)^2 = 0,25
(4,5 - 6)^2 = 2,25
(5,5 - 6)^2 = 0,25
(7 - 6)^2 = 1
(7 - 6)^2 = 1
(8,5 - 6)^2 = 6,25
(9,5 - 6)^2 = 12,25
Somando tudo:
12,25 + 4 + 1 + 0,25 + 2,25 + 0,25 + 1 + 1 + 6,25 + 12,25 = 40,5
Dividindo pelo número de amostras:
s^2 = 40,510 = 4,05

Resposta

a) A média da população é e a variância é .
b) A distribuição amostral da média está apresentada na tabela acima.
c) A média da distribuição amostral é e a vari��ncia é .

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