Uma população de 5 elementos pertencem ao conjunto
. Considere todas as amostras possíveis que dela possam ser retiradas com 2 elementos e sem reposição. Determine:
a) a média e a variância da população.
b) a distribuição amostral da média, em forma tabular.
c) Calcule sua média e sua variância a partir da distribuição obtida em (b).
a) a média e a variância da população.
b) a distribuição amostral da média, em forma tabular.
c) Calcule sua média e sua variância a partir da distribuição obtida em (b).
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Temos uma população com 5 elementos:
. O conteúdo que vamos usar aqui é estatística básica, especificamente média e variância, além de distribuição amostral. Vamos precisar calcular a média e a variância da população, identificar todas as amostras possíveis de 2 elementos sem reposição, e depois trabalhar com a distribuição amostral dessas médias.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a média da população. A média é a soma de todos os elementos dividida pelo número de elementos.
Passo 3
Agora, vamos calcular a variância da população. A variância mede o quanto os valores estão espalhados em relação à média. A fórmula da variância populacional é:
Onde:
-
são os elementos da população, -
é a média, -
é o número de elementos.
Vamos calcular cada parte:
Somando tudo:
Dividindo pela quantidade de elementos:
Passo 4
Pronto, já resolvemos a parte (a). Vamos para a parte (b), que pede a distribuição amostral da média. Isso significa que vamos listar todas as combinações possíveis de 2 elementos da população e calcular a média de cada amostra.
As combinações possíveis são:
- (2, 3)
- (2, 6)
- (2, 8)
- (2, 11)
- (3, 6)
- (3, 8)
- (3, 11)
- (6, 8)
- (6, 11)
- (8, 11)
Agora, vamos calcular a média de cada amostra:
Vamos organizar isso em uma tabela:
Amostra | Média |
---|---|
(2, 3) | 2,5 |
(2, 6) | 4 |
(2, 8) | 5 |
(2, 11) | 6,5 |
(3, 6) | 4,5 |
(3, 8) | 5,5 |
(3, 11) | 7 |
(6, 8) | 7 |
(6, 11) | 8,5 |
(8, 11) | 9,5 |
Passo 5
Agora, na parte ©, vamos calcular a média e a variância a partir dessa distribuição amostral que montamos.
Primeiro, a média da distribuição amostral é a média das médias das amostras:
Interessante notar que a média amostral coincide com a média da população, que faz sentido porque estamos considerando todas as possíveis amostras.
Agora, vamos calcular a variância da distribuição amostral. Usamos a mesma fórmula da variância, mas agora com as médias das amostras:
Calculando cada parte:
Somando tudo:
Dividindo pelo número de amostras:
Resposta
a) A média da população é
e a variância é
.
b) A distribuição amostral da média está apresentada na tabela acima.
c) A média da distribuição amostral é
e a vari��ncia é
.