Um banco decidiu criar um novo sistema de saldo para seus clientes. Buscando avaliar algumas características do sistema já existente, foi selecionada uma amostra aleatória de 20 clientes, cuja mesma apresentou um tempo médio de resposta equivalente a 1,34 segundos e desvio padrão de 0,96 segundos.
a) Determine o intervalo de confiança de 95 % para o tempo médio de resposta do sistema do banco.
b) o que aconteceria se o banco fornecesse o desvio padrão equivalente a 0,85 segundos do sistema? Justifique sua resposta.
c) Se a amostra fosse maior, no valor de 40 clientes, sua conclusão mudaria?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício! A gente tem um banco que quer avaliar o tempo médio de resposta do sistema deles. Eles selecionaram aleatoriamente 20 clientes e descobriram que o tempo médio foi de 1,34 segundos, com um desvio padrão de 0,96 segundos. A gente vai trabalhar com estatística, especificamente com intervalos de confiança, para resolver as três partes dessa questão.

Passo 2

Parte a) Queremos determinar o intervalo de confiança de 95% para o tempo médio de resposta. Para isso, usamos a fórmula do intervalo de confiança para a média quando o desvio padrão da população não é conhecido e a amostra é pequena (n < 30). Nesse caso, usamos a distribuição t de Student.
A fórmula é:
barx pm talpha/2 times ( sraizn )
Onde:
  • barx é a média amostral (1,34 s)
  • s é o desvio padrão amostral (0,96 s)
  • n é o tamanho da amostra (20)
  • talpha/2 é o valor crítico da distribuição t para 95% de confiança e n-1 graus de liberdade.
Primeiro, vamos encontrar o valor de talpha/2. Com 19 graus de liberdade (20-1) e confiança de 95%, o valor de t é aproximadamente 2,093.
Agora, calculamos o erro padrão:
sraizn = 0,96raiz20 approx 0,964,472 approx 0,2146
Multiplicando pelo valor t:
2,093 times 0,2146 approx 0,449
Então, o intervalo de confiança é:
1,34 pm 0,449
Isso dá:
[1,34 - 0,449, 1,34 + 0,449] = [0,891, 1,789]

Passo 3

Parte b) Agora, o banco informa que o desvio padrão é 0,85 segundos em vez de 0,96. Vamos ver o que muda.
Primeiro, refazemos o erro padrão com o novo desvio:
0,85raiz20 approx 0,854,472 approx 0,190
Usando o mesmo valor de t (2,093), o erro agora será:
2,093 times 0,190 approx 0,398
O novo intervalo de confiança fica:
1,34 pm 0,398 = [0,942, 1,738]
Justificativa: Com um desvio padrão menor, o erro padrão também diminui, fazendo o intervalo de confiança mais estreito. Isso significa que nossa estimativa da média é mais precisa.

Passo 4

Parte c) Se aumentarmos o tamanho da amostra para 40 clientes, vamos ver se a conclusão muda.
Primeiro, o erro padrão com s = 0,96 e n = 40:
0,96raiz40 approx 0,966,325 approx 0,152
Para 39 graus de liberdade e 95% de confiança, o valor de t é aproximadamente 2,022.
Multiplicando:
2,022 times 0,152 approx 0,307
O novo intervalo de confiança:
1,34 pm 0,307 = [1,033, 1,647]
Conclusão: Com um tamanho de amostra maior, o intervalo de confiança fica mais estreito, aumentando a precisão da estimativa da média. Assim, nossa conclusão sobre o tempo médio de resposta se torna mais confiável.

Resposta

a) O intervalo de confiança de 95% para o tempo médio de resposta é entre 0,891 e 1,789 segundos.
b) Com um desvio padrão de 0,85 segundos, o intervalo de confiança fica mais estreito, entre 0,942 e 1,738 segundos, indicando maior precisão na estimativa da média.
c) Se a amostra fosse aumentada para 40 clientes, o intervalo de confiança seria ainda mais estreito (entre 1,033 e 1,647 segundos), tornando a conclusão sobre o tempo médio mais confiável.

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