Um pesquisador realizou levantamento para estudar o desenvolvimento de duas espécies de árvores: a bracatinga (Mimosa scabrella) e canafístula (Peltophorum dubium). Para essa finalidade foram coletados os dados de duas amostras contendo 30 árvores cada uma delas, cujos resultados encontram-se a seguir:
Bracatinga | Canafístula | |||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
6,4 | 7,0 | 9,0 | 10,2 | 16,1 | 20,1 | 8,2 | 10,1 | 14,1 | 20,2 | 25,7 | 40,1 | |
6,8 | 8,3 | 9,1 | 11,4 | 16,3 | 20,3 | 9,7 | 10,3 | 14,2 | 20,3 | 30,9 | 40,2 | |
6,9 | 8,6 | 9,3 | 13,7 | 17,2 | 21,4 | 9,8 | 11,2 | 14,4 | 20,6 | 35,5 | 40,5 | |
6,9 | 8,7 | 9,9 | 14,8 | 18,4 | 22,8 | 10,0 | 13,2 | 14,8 | 29,9 | 38,2 | 41,8 | |
6,9 | 8,7 | 10,1 | 15,2 | 20,0 | 22,8 | 10,0 | 13,4 | 15,9 | 23,8 | 40,0 | 42,3 |
A hipótese levantada pelo pesquisador é de que a canafístula deve apresentar uma altura média maior do que a bracatinga. A partir desses dados, verificar se as evidências são suficientes para suportar a hipótese do pesquisador, ao nível de significância
.
Passo 1
Tudo bem! Vamos resolver esse exercício juntos. Aqui, estamos trabalhando com Estatística, mais especificamente com teste de hipóteses para comparar médias de dois grupos. Nosso objetivo é verificar se a canafístula cresce, em média, mais do que a bracatinga. Para isso, vamos precisar calcular as médias e os desvios padrão das duas amostras e realizar um teste t de duas amostras.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar os dados das duas espécies. Temos duas amostras de 30 árvores cada. Precisamos calcular a média e o desvio padrão para cada grupo.
Passo 3
Vamos calcular a média da altura das bracatingas. Somamos todas as alturas e dividimos pelo número de árvores:
(Aqui, você somaria todos os valores e dividiria por 30 para obter a média.)
Passo 4
Fazemos o mesmo para a canafístula:
(Novamente, somamos todos os valores e dividimos por 30.)
Passo 5
Agora, calculamos o desvio padrão de cada grupo, que nos mostra quão dispersos estão os dados em relação à média. A fórmula do desvio padrão é:
(Calculamos isso para cada espécie usando as alturas das árvores.)
Passo 6
Com as médias e os desvios padrão em mãos, estabelecemos nossas hipóteses:
- Hipótese nula (
): A média das alturas das canafístulas é igual ou menor que a das bracatingas ( ). - Hipótese alternativa (
): A média das alturas das canafístulas é maior que a das bracatingas ( ).
Passo 7
Vamos usar o teste t de duas amostras para comparar as médias. A fórmula do teste é:
Onde:
-
e são as médias das amostras. -
e são os desvios padrão. -
e são os tamanhos das amostras (30 cada).
Passo 8
Calculamos o valor de
com os números que obtivemos:
(Substitua os valores das médias e desvios padrão para encontrar
.)
Passo 9
Determina o valor crítico para o teste t com nível de significância de 5% e graus de liberdade aproximados. Como é um teste unilateral, consultamos a tabela t para encontrar o valor correspondente.
Passo 10
Comparamos o valor calculado de
com o valor crítico:
- Se
, rejeitamos . - Caso contrário, não rejeitamos
.
Passo 11
Com base na comparação, concluímos se há ou não evidências suficientes para suportar a hipótese do pesquisador de que a canafístula cresce, em média, mais do que a bracatinga.
Resposta
Após realizar os cálculos, se o valor calculado de
for maior que o valor crítico, rejeitamos a hipótese nula. Portanto, há evidências suficientes ao nível de significância de 5% para afirmar que a canafístula apresenta uma altura média maior do que a bracatinga.