Um pesquisador realizou levantamento para estudar o desenvolvimento de duas espécies de árvores: a bracatinga (Mimosa scabrella) e canafístula (Peltophorum dubium). Para essa finalidade foram coletados os dados de duas amostras contendo 30 árvores cada uma delas, cujos resultados encontram-se a seguir:
Bracatinga Canafístula
6,4 7,0 9,0 10,2 16,1 20,1 8,2 10,1 14,1 20,2 25,7 40,1
6,8 8,3 9,1 11,4 16,3 20,3 9,7 10,3 14,2 20,3 30,9 40,2
6,9 8,6 9,3 13,7 17,2 21,4 9,8 11,2 14,4 20,6 35,5 40,5
6,9 8,7 9,9 14,8 18,4 22,8 10,0 13,2 14,8 29,9 38,2 41,8
6,9 8,7 10,1 15,2 20,0 22,8 10,0 13,4 15,9 23,8 40,0 42,3
A hipótese levantada pelo pesquisador é de que a canafístula deve apresentar uma altura média maior do que a bracatinga. A partir desses dados, verificar se as evidências são suficientes para suportar a hipótese do pesquisador, ao nível de significância 5 %.

Passo 1

Tudo bem! Vamos resolver esse exercício juntos. Aqui, estamos trabalhando com Estatística, mais especificamente com teste de hipóteses para comparar médias de dois grupos. Nosso objetivo é verificar se a canafístula cresce, em média, mais do que a bracatinga. Para isso, vamos precisar calcular as médias e os desvios padrão das duas amostras e realizar um teste t de duas amostras.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar os dados das duas espécies. Temos duas amostras de 30 árvores cada. Precisamos calcular a média e o desvio padrão para cada grupo.

Passo 3

Vamos calcular a média da altura das bracatingas. Somamos todas as alturas e dividimos pelo número de árvores:
barX1 = 6,4 + 7,0 + 9,0 + dots + 15,230
(Aqui, você somaria todos os valores e dividiria por 30 para obter a média.)

Passo 4

Fazemos o mesmo para a canafístula:
barX2 = 8,2 + 10,1 + 14,1 + dots + 42,330
(Novamente, somamos todos os valores e dividimos por 30.)

Passo 5

Agora, calculamos o desvio padrão de cada grupo, que nos mostra quão dispersos estão os dados em relação à média. A fórmula do desvio padrão é:
s = raizsum (xi - barX)^2n - 1
(Calculamos isso para cada espécie usando as alturas das árvores.)

Passo 6

Com as médias e os desvios padrão em mãos, estabelecemos nossas hipóteses:
  • Hipótese nula ( ): A média das alturas das canafístulas é igual ou menor que a das bracatingas ( ).
  • Hipótese alternativa ( ): A média das alturas das canafístulas é maior que a das bracatingas ( ).

Passo 7

Vamos usar o teste t de duas amostras para comparar as médias. A fórmula do teste é:
t = barX2 - barX1raizs1^2n1 + s2^2n2
Onde:
  • e são as médias das amostras.
  • e são os desvios padrão.
  • e são os tamanhos das amostras (30 cada).

Passo 8

Calculamos o valor de t = barX2 - barX1raizs1^230 + s2^230 com os números que obtivemos:
(Substitua os valores das médias e desvios padrão para encontrar .)

Passo 9

Determina o valor crítico para o teste t com nível de significância de 5% e graus de liberdade aproximados. Como é um teste unilateral, consultamos a tabela t para encontrar o valor correspondente.

Passo 10

Comparamos o valor calculado de com o valor crítico:
  • Se í, rejeitamos .
  • Caso contrário, não rejeitamos .

Passo 11

Com base na comparação, concluímos se há ou não evidências suficientes para suportar a hipótese do pesquisador de que a canafístula cresce, em média, mais do que a bracatinga.

Resposta

Após realizar os cálculos, se o valor calculado de for maior que o valor crítico, rejeitamos a hipótese nula. Portanto, há evidências suficientes ao nível de significância de 5% para afirmar que a canafístula apresenta uma altura média maior do que a bracatinga.

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