A qual altura a partir da superfície da Terra a densidade do ar na atmosfera terrestre é reduzida à metade? A pressão na superfície é
, e a densidade do ar é
. Resposta:
.
Passo 1
Então, vamos resolver essa questão que pergunta a que altura, a partir da superfície da Terra, a densidade do ar é reduzida à metade. A gente sabe que na superfície a pressão do ar é
e a densidade é
. Para resolver isso, vamos precisar entender como a densidade do ar muda com a altitude, usando um pouco de física atmosférica e matemática básica.
Passo 2
Primeiro, precisamos saber como a densidade do ar varia com a altitude. Na atmosfera terrestre, a densidade do ar diminui exponencialmente conforme subimos. Isso significa que a densidade em uma certa altura
pode ser expressa pela fórmula:
Aqui,
é a densidade do ar na altura
,
é a densidade do ar na superfície,
é a base dos logaritmos naturais, e
é a chamada “altura de escala”, que é uma medida de como rapidamente a densidade diminui com a altitude.
Passo 3
Nosso objetivo é encontrar a altura
onde a densidade
é metade da densidade da superfície
. Então, vamos colocar
na equação:
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por
:
Passo 4
Para resolver para
, vamos tirar o logaritmo natural de ambos os lados da equação:
Sabemos que
, então substituindo:
Simplificando os sinais:
Agora, isolamos
multiplicando ambos os lados por
:
Passo 5
Agora, precisamos encontrar o valor de
, a altura de escala. A altura de escala pode ser calculada pela fórmula:
Onde:
-
é a constante de Boltzmann ( ), -
é a temperatura absoluta do ar, -
é a massa molecular do ar, -
é a aceleração devido à gravidade ( ).
Para simplificar, muitas vezes usamos um valor aproximado de
para a atmosfera terrestre que é cerca de
. Usando esse valor:
Resposta
A densidade do ar é reduzida à metade a uma altura de aproximadamente
acima da superfície da Terra.