A qual altura a partir da superfície da Terra a densidade do ar na atmosfera terrestre é reduzida à metade? A pressão na superfície é , e a densidade do ar é . Resposta: .

Passo 1

Então, vamos resolver essa questão que pergunta a que altura, a partir da superfície da Terra, a densidade do ar é reduzida à metade. A gente sabe que na superfície a pressão do ar é e a densidade é . Para resolver isso, vamos precisar entender como a densidade do ar muda com a altitude, usando um pouco de física atmosférica e matemática básica.

Passo 2

Primeiro, precisamos saber como a densidade do ar varia com a altitude. Na atmosfera terrestre, a densidade do ar diminui exponencialmente conforme subimos. Isso significa que a densidade em uma certa altura pode ser expressa pela fórmula:
Aqui, é a densidade do ar na altura , é a densidade do ar na superfície, é a base dos logaritmos naturais, e é a chamada “altura de escala”, que é uma medida de como rapidamente a densidade diminui com a altitude.

Passo 3

Nosso objetivo é encontrar a altura onde a densidade é metade da densidade da superfície . Então, vamos colocar na equação:
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por :

Passo 4

Para resolver para , vamos tirar o logaritmo natural de ambos os lados da equação:
Sabemos que , então substituindo:
Simplificando os sinais:
Agora, isolamos multiplicando ambos os lados por :

Passo 5

Agora, precisamos encontrar o valor de , a altura de escala. A altura de escala pode ser calculada pela fórmula:
Onde:
  • é a constante de Boltzmann ( ),
  • é a temperatura absoluta do ar,
  • é a massa molecular do ar,
  • é a aceleração devido à gravidade ( ).
Para simplificar, muitas vezes usamos um valor aproximado de para a atmosfera terrestre que é cerca de . Usando esse valor:

Resposta

A densidade do ar é reduzida à metade a uma altura de aproximadamente acima da superfície da Terra.

Exercícios relacionados

Uma bobina circular com 900 espiras enroladas de modo compacto possui raio de . (a) Qual deve ser a corrente que passa pela bobina, supondo que o campo magnético no centro da bobina seja igual a ?
Qual dos princípios físicos citados a seguir é muito usado por mergulhadores para executar um mergulho? Justifique sua resposta.
I. Conservação de momento linear
II. Conservação de momento angular
III. Conservação da energia cinética de rotação
IV. Conservação do momento de inércia
Uma bobina circular com 900 espiras enroladas de modo compacto possui raio de . (b) A que distância do centro da bobina, sobre o eixo da bobina, o campo magnético é igual à de seu valor no centro?
A face vertical de uma barragem, de largura , retém água à altura . Lembrando que a pressão atmosférica atua em todo o meio, encontre:
c) a posição da linha de ação da força resultante.
Resposta: