A qual altura a partir da superfície da Terra a densidade do ar na atmosfera terrestre é reduzida à metade? A pressão na superfície é po=1,013 times 10^5 N / m^2, e a densidade do ar é 1,293 kg / m^3. Resposta: 5,5 km.

Passo 1

Então, vamos resolver essa questão que pergunta a que altura, a partir da superfície da Terra, a densidade do ar é reduzida à metade. A gente sabe que na superfície a pressão do ar é po=1,013 times 10^5 N / m^2 e a densidade é 1,293 kg / m^3. Para resolver isso, vamos precisar entender como a densidade do ar muda com a altitude, usando um pouco de física atmosférica e matemática básica.

Passo 2

Primeiro, precisamos saber como a densidade do ar varia com a altitude. Na atmosfera terrestre, a densidade do ar diminui exponencialmente conforme subimos. Isso significa que a densidade em uma certa altura z pode ser expressa pela fórmula:
rho(z) = rho0 cdot e^-z / H
Aqui, rho(z) é a densidade do ar na altura z, rho0 é a densidade do ar na superfície, e é a base dos logaritmos naturais, e H é a chamada “altura de escala”, que é uma medida de como rapidamente a densidade diminui com a altitude.

Passo 3

Nosso objetivo é encontrar a altura z onde a densidade rho(z) é metade da densidade da superfície rho0. Então, vamos colocar rho(z) = rho0/2 na equação:
rho02 = rho0 cdot e^-z / H
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por rho0:
12 = e^-z / H

Passo 4

Para resolver para z, vamos tirar o logaritmo natural de ambos os lados da equação:
ln(12) = -zH
Sabemos que ln(12) = -ln(2), então substituindo:
-ln(2) = -zH
Simplificando os sinais:
ln(2) = zH
Agora, isolamos z multiplicando ambos os lados por H:
z = H cdot ln(2)

Passo 5

Agora, precisamos encontrar o valor de H, a altura de escala. A altura de escala pode ser calculada pela fórmula:
H = kTmg
Onde:
  • k é a constante de Boltzmann ( 1,38 times 10^-23 J/K),
  • T é a temperatura absoluta do ar,
  • m é a massa molecular do ar,
  • g é a aceleração devido à gravidade ( 9,81 m/s^2).
Para simplificar, muitas vezes usamos um valor aproximado de H para a atmosfera terrestre que é cerca de 8 km. Usando esse valor:
z = 8 km cdot ln(2) approx 8 km cdot 0,693 approx 5,5 km

Resposta

A densidade do ar é reduzida à metade a uma altura de aproximadamente 5,5 km acima da superfície da Terra.

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