A face vertical de uma barragem, de largura L, retém água à altura H. Lembrando que a pressão atmosférica atua em todo o meio, encontre:
c) a posição da linha de ação da força resultante.
Resposta: d=2 H / 3

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a face vertical de uma barragem com largura que está retendo água até uma altura . Queremos descobrir onde fica a linha de ação da força resultante que a água exerce nessa barragem. Para resolver isso, vamos usar conceitos de estática de fluidos, especificamente como a pressão varia com a profundidade e como calcular o centro de pressão.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a pressão em um fluido em repouso aumenta com a profundidade. A fórmula para a pressão P = Patm + rho g h em uma profundidade é:
Aqui, é a pressão atmosférica, é a densidade da água, e é a aceleração da gravidade. No nosso caso, a pressão atmosférica atua sobre toda a superfície da água, mas para encontrar a força resultante, podemos ignorar porque ela não contribui para a força total exercida pela água na barragem.

Passo 3

A força diferencial dF = P cdot dA = rho g h cdot L , dh em um pequeno elemento de área na barragem é dada por:
Aqui, é a largura da barragem, que é constante, e varia de 0 até .

Passo 4

Para encontrar a força total F = integral0^H rho g h L , dh , integramos F = rho g L integral0^H h , dh de F = rho g L [ h^22 ]0^H até F = rho g L cdot H^22 :

Passo 5

Agora, para encontrar a posição d = integral0^H h cdot dFF da linha de ação dessa força resultante, usamos a fórmula do centro de pressão para uma superfície vertical:
d = integral0^H h cdot (rho g h L) , dhrho g L cdot H^22
Substituindo d = rho g L integral0^H h^2 , dhrho g L cdot H^22 :

Passo 6

Calculando a integral no numerador:
integral0^H h^2 , dh = [ h^33 ]0^H = H^33
Então:
d = rho g L cdot H^33rho g L cdot H^22
Simplificando:
d = H^33H^22 = 2H3

Resposta

A posição da linha de ação da força resultante é .

Exercícios relacionados