As alturas de 10000 alunos de um colégio têm distribuição aproximadamente normal, com média 170 cm e desvio padrão 5 cm . Pede-se:
(a) P(X>165);
(b) Qual o intervalo simétrico em torno da média que conterá 75 % das alturas dos alunos?

Passo 1

Então, temos o seguinte problema: estamos lidando com as alturas de 10.000 alunos que seguem uma distribuição normal, ou seja, uma forma de distribuição que tem a média no centro e os dados se espalham de forma simétrica ao redor dela. A média das alturas é de 170 cm e o desvio padrão é de 5 cm. Vamos resolver duas partes:
a) Calcular a probabilidade de um aluno ter mais de 165 cm de altura.
b) Encontrar um intervalo em torno da média que contenha 75% das alturas dos alunos.
Para resolver isso, vamos precisar entender sobre distribuição normal, z-scores e como usar a tabela da distribuição normal padrão.

Passo 2

Parte (a): Calcular z = X - musigma
Primeiro, queremos saber a probabilidade de um aluno ter uma altura maior que 165 cm. Para isso, usamos a distribuição normal.
  1. Calcular o z-score: O z-score nos diz quantos desvios padrão um valor está acima ou abaixo da média. A fórmula é:
    z = 165 - 1705 = -55 = -1
    Onde:
    • P(Z > -1) = 1 - P(Z < -1) cm
    • P(Z > -1) = 1 - 0,1587 = 0,8413 cm (média)
    • cm (desvio padrão)
    Substituindo:
  2. Encontrar a probabilidade: Queremos , que é o mesmo que . Na tabela da distribuição normal padrão, encontramos a probabilidade de e subtraímos de 1:
    Sabemos que é aproximadamente 0,1587. Então:
    Isso significa que há aproximadamente 84,13% de chance de um aluno ter mais de 165 cm de altura.

Passo 3

Parte (b): Encontrar o intervalo simétrico em torno da média que conterá 75% das alturas dos alunos
Aqui, queremos achar um intervalo em torno da média (170 cm) que contenha 75% das alturas. Isso significa que 75% dos alunos terão alturas dentro desse intervalo.
  1. Determinar as áreas nas caudas: Como queremos 75% no meio, as duas caudas juntas terão 25%, ou seja, 12,5% em cada lado.
  2. Encontrar o z-score correspondente: Precisamos achar o z-score que deixa 87,5% (75% + 12,5%) da distribuição à esquerda dele. Olhando na tabela da distribuição normal padrão, encontramos que o z-score correspondente a 0,875 é aproximadamente 1,15.
  3. Calcular os limites do intervalo:
    X = mu pm z cdot sigma
    Substituindo os valores:
    X = 170 pm 1,15 cdot 5
    X = 170 pm 5,75
    Então, o intervalo é de:
    170 - 5,75 = 164,25 cm
    até
    170 + 5,75 = 175,75 cm
    Portanto, o intervalo simétrico é de 164,25 cm a 175,75 cm.

Resposta

a) A probabilidade de um aluno ter mais de 165 cm de altura é aproximadamente 84,13%.
b) O intervalo simétrico em torno da média que contém 75% das alturas dos alunos vai de 164,25 cm a 175,75 cm.

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