As alturas de 10000 alunos de um colégio têm distribuição aproximadamente normal, com média 170 cm e desvio padrão 5 cm . Pede-se:
(a)
;
(b) Qual o intervalo simétrico em torno da média que conterá
das alturas dos alunos?
(a)
(b) Qual o intervalo simétrico em torno da média que conterá
Passo 1
Então, temos o seguinte problema: estamos lidando com as alturas de 10.000 alunos que seguem uma distribuição normal, ou seja, uma forma de distribuição que tem a média no centro e os dados se espalham de forma simétrica ao redor dela. A média das alturas é de 170 cm e o desvio padrão é de 5 cm. Vamos resolver duas partes:
a) Calcular a probabilidade de um aluno ter mais de 165 cm de altura.
b) Encontrar um intervalo em torno da média que contenha 75% das alturas dos alunos.
Para resolver isso, vamos precisar entender sobre distribuição normal, z-scores e como usar a tabela da distribuição normal padrão.
a) Calcular a probabilidade de um aluno ter mais de 165 cm de altura.
b) Encontrar um intervalo em torno da média que contenha 75% das alturas dos alunos.
Para resolver isso, vamos precisar entender sobre distribuição normal, z-scores e como usar a tabela da distribuição normal padrão.
Passo 2
Parte (a): Calcular
Primeiro, queremos saber a probabilidade de um aluno ter uma altura maior que 165 cm. Para isso, usamos a distribuição normal.
-
Calcular o z-score: O z-score nos diz quantos desvios padrão um valor está acima ou abaixo da média. A fórmula é:Onde:
-
cm -
cm (média) -
cm (desvio padrão)
Substituindo: -
-
Encontrar a probabilidade: Queremos
, que é o mesmo que . Na tabela da distribuição normal padrão, encontramos a probabilidade de e subtraímos de 1: Sabemos queé aproximadamente 0,1587. Então: Isso significa que há aproximadamente 84,13% de chance de um aluno ter mais de 165 cm de altura.
Passo 3
Parte (b): Encontrar o intervalo simétrico em torno da média que conterá 75% das alturas dos alunos
Aqui, queremos achar um intervalo em torno da média (170 cm) que contenha 75% das alturas. Isso significa que 75% dos alunos terão alturas dentro desse intervalo.
-
Determinar as áreas nas caudas: Como queremos 75% no meio, as duas caudas juntas terão 25%, ou seja, 12,5% em cada lado.
-
Encontrar o z-score correspondente: Precisamos achar o z-score que deixa 87,5% (75% + 12,5%) da distribuição à esquerda dele. Olhando na tabela da distribuição normal padrão, encontramos que o z-score correspondente a 0,875 é aproximadamente 1,15.
-
Calcular os limites do intervalo:Substituindo os valores:Então, o intervalo é de:atéPortanto, o intervalo simétrico é de 164,25 cm a 175,75 cm.
Resposta
a) A probabilidade de um aluno ter mais de 165 cm de altura é aproximadamente 84,13%.
b) O intervalo simétrico em torno da média que contém 75% das alturas dos alunos vai de 164,25 cm a 175,75 cm.
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.
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para a média
será
, em que s é o desvio padrão da amostra,
é calculado de forma que
, e
segue uma distribuição de Student
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