Seja a variável aleatória que indica o número de latas defeituosas produzidas por uma fábrica, em uma amostra aleatória de latas. Assuma que tem uma distribuição binomial lata defeituosa . Calcule quantas latas devem ser amostradas para se obter pelo menos uma defeituosa com de probabilidade.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma variável aleatória que conta o número de latas defeituosas em uma amostra de latas. Sabemos que segue uma distribuição binomial com a probabilidade de uma lata ser defeituosa . Nosso objetivo é descobrir quantas latas a gente precisa amostrar para ter pelo menos uma defeituosa com 99% de probabilidade. Para isso, vamos usar conceitos de probabilidade e distribuição binomial.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa "pelo menos uma defeituosa". Isso inclui ter uma, duas, três, etc., latas defeituosas. Mas é mais fácil calcular o contrário: a probabilidade de **nenhuma** lata ser defeituosa e depois subtrair isso de 1.

Passo 3

A probabilidade de nenhuma lata ser defeituosa em tentativas é . No nosso caso, , então a probabilidade de uma lata não ser defeituosa é .

Passo 4

Então, a probabilidade de ter **pelo menos uma** lata defeituosa é: Queremos que essa probabilidade seja de pelo menos 99%, ou seja:

Passo 5

Vamos resolver a inequação: Subtraímos 1 de ambos os lados: Multiplicamos por -1 (lembrando que a desigualdade inverte):

Passo 6

Agora, para resolver essa inequação exponencial, usamos logaritmos. Aplicamos o logaritmo natural (ln) em ambos os lados: Usando a propriedade dos logaritmos, :

Passo 7

Isolamos : Agora é só calcular os valores: Então:

Passo 8

Como não podemos amostrar uma fração de lata, arredondamos para cima. Portanto, precisamos amostrar **90 latas** para ter pelo menos uma defeituosa com 99% de probabilidade.

Resposta

Devemos amostrar **90 latas** para garantir pelo menos uma defeituosa com 99% de probabilidade.

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