Seja a variável aleatória que indica o número de latas defeituosas produzidas por uma fábrica, em uma amostra aleatória de latas. Assuma que tem uma distribuição binomial lata defeituosa . Calcule quantas latas devem ser amostradas para se obter pelo menos uma defeituosa com de probabilidade.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma variável aleatória que conta o número de latas defeituosas em uma amostra de latas. Sabemos que segue uma distribuição binomial com a probabilidade de uma lata ser defeituosa . Nosso objetivo é descobrir quantas latas a gente precisa amostrar para ter pelo menos uma defeituosa com 99% de probabilidade. Para isso, vamos usar conceitos de probabilidade e distribuição binomial.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa "pelo menos uma defeituosa". Isso inclui ter uma, duas, três, etc., latas defeituosas. Mas é mais fácil calcular o contrário: a probabilidade de **nenhuma** lata ser defeituosa e depois subtrair isso de 1.
Passo 3
A probabilidade de nenhuma lata ser defeituosa em tentativas é . No nosso caso, , então a probabilidade de uma lata não ser defeituosa é .
Passo 4
Então, a probabilidade de ter **pelo menos uma** lata defeituosa é:
Queremos que essa probabilidade seja de pelo menos 99%, ou seja:
Passo 5
Vamos resolver a inequação:
Subtraímos 1 de ambos os lados:
Multiplicamos por -1 (lembrando que a desigualdade inverte):
Passo 6
Agora, para resolver essa inequação exponencial, usamos logaritmos. Aplicamos o logaritmo natural (ln) em ambos os lados:
Usando a propriedade dos logaritmos, :
Passo 7
Isolamos :
Agora é só calcular os valores:
Então:
Passo 8
Como não podemos amostrar uma fração de lata, arredondamos para cima. Portanto, precisamos amostrar **90 latas** para ter pelo menos uma defeituosa com 99% de probabilidade.
Resposta
Devemos amostrar **90 latas** para garantir pelo menos uma defeituosa com 99% de probabilidade.
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