Seja
a variável aleatória que indica o número de latas defeituosas produzidas por uma fábrica, em uma amostra aleatória de
latas. Assuma que
tem uma distribuição binomial
lata defeituosa
. Calcule quantas latas devem ser amostradas para se obter pelo menos uma defeituosa com
de probabilidade.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma variável aleatória
que conta o número de latas defeituosas em uma amostra de
latas. Sabemos que
segue uma distribuição binomial com a probabilidade de uma lata ser defeituosa
. Nosso objetivo é descobrir quantas latas a gente precisa amostrar para ter pelo menos uma defeituosa com 99% de probabilidade. Para isso, vamos usar conceitos de probabilidade e distribuição binomial.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa “pelo menos uma defeituosa”. Isso inclui ter uma, duas, três, etc., latas defeituosas. Mas é mais fácil calcular o contrário: a probabilidade de nenhuma lata ser defeituosa e depois subtrair isso de 1.
Passo 3
A probabilidade de nenhuma lata ser defeituosa em
tentativas é
. No nosso caso,
, então a probabilidade de uma lata não ser defeituosa é
.
Passo 4
Então, a probabilidade de ter pelo menos uma lata defeituosa é:
Queremos que essa probabilidade seja de pelo menos 99%, ou seja:
Passo 5
Vamos resolver a inequação:
Subtraímos 1 de ambos os lados:
Multiplicamos por -1 (lembrando que a desigualdade inverte):
Passo 6
Agora, para resolver essa inequação exponencial, usamos logaritmos. Aplicamos o logaritmo natural (ln) em ambos os lados:
Usando a propriedade dos logaritmos,
:
Passo 7
Isolamos
:
Agora é só calcular os valores:
Então:
Passo 8
Como não podemos amostrar uma fração de lata, arredondamos para cima. Portanto, precisamos amostrar 90 latas para ter pelo menos uma defeituosa com 99% de probabilidade.
Resposta
Devemos amostrar 90 latas para garantir pelo menos uma defeituosa com 99% de probabilidade.