Seja X a variável aleatória que indica o número de latas defeituosas produzidas por uma fábrica, em uma amostra aleatória de n latas. Assuma que X tem uma distribuição binomial com p=P( lata defeituosa )=0,05. Calcule quantas latas devem ser amostradas para se obter pelo menos uma defeituosa com 99 % de probabilidade.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma variável aleatória que conta o número de latas defeituosas em uma amostra de latas. Sabemos que segue uma distribuição binomial com a probabilidade de uma lata ser defeituosa . Nosso objetivo é descobrir quantas latas a gente precisa amostrar para ter pelo menos uma defeituosa com 99% de probabilidade. Para isso, vamos usar conceitos de probabilidade e distribuição binomial.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa “pelo menos uma defeituosa”. Isso inclui ter uma, duas, três, etc., latas defeituosas. Mas é mais fácil calcular o contrário: a probabilidade de nenhuma lata ser defeituosa e depois subtrair isso de 1.

Passo 3

A probabilidade de nenhuma lata ser defeituosa em P(nenhuma defeituosa) = 0,95^n tentativas é . No nosso caso, , então a probabilidade de uma lata não ser defeituosa é .

Passo 4

Então, a probabilidade de ter pelo menos uma lata defeituosa é:
P(pelo menos uma) = 1 - P(nenhuma defeituosa) = 1 - 0,95^n
Queremos que essa probabilidade seja de pelo menos 99%, ou seja:
1 - 0,95^n >= 0,99

Passo 5

Vamos resolver a inequação:
1 - 0,95^n >= 0,99
Subtraímos 1 de ambos os lados:
-0,95^n >= -0,01
Multiplicamos por -1 (lembrando que a desigualdade inverte):
0,95^n <= 0,01

Passo 6

Agora, para resolver essa inequação exponencial, usamos logaritmos. Aplicamos o logaritmo natural (ln) em ambos os lados:
ln(0,95^n) <= ln(0,01)
Usando a propriedade dos logaritmos, n cdot ln(0,95) <= ln(0,01) :

Passo 7

Isolamos n >= ln(0,01)ln(0,95) :
ln(0,01) approx -4,6052
Agora é só calcular os valores:
ln(0,95) approx -0,0513
n >= -4,6052-0,0513 approx 89,68
Então:

Passo 8

Como não podemos amostrar uma fração de lata, arredondamos para cima. Portanto, precisamos amostrar 90 latas para ter pelo menos uma defeituosa com 99% de probabilidade.

Resposta

Devemos amostrar 90 latas para garantir pelo menos uma defeituosa com 99% de probabilidade.

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