Um aluno executa uma prática no laboratório de física reproduzindo a lei de Hooke. Para cada massa (
) ele obtém a leitura de distensão (
) de uma mola. Os dados experimentais estão listados na tabela a seguir.
X (carga g )
Y (comprimento cm )
22,60
22,50
50,03
32,50
72,65
49,00
99,92
65,00
122,70
76,00
149,99
90,00
Utilizando o MMQ, encontre a melhor reta que se ajusta aos dados experimentais.
X (carga g ) | Y (comprimento cm ) |
22,60 | 22,50 |
50,03 | 32,50 |
72,65 | 49,00 |
99,92 | 65,00 |
122,70 | 76,00 |
149,99 | 90,00 |
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma tabela com dados de cargas (X) e as respectivas distensões das molas (Y) que um aluno mediu no laboratório de física, aplicando a Lei de Hooke. Nosso objetivo aqui é usar o método dos mínimos quadrados (MMQ) para encontrar a melhor reta que se ajusta a esses dados. Isso vai nos ajudar a entender a relação entre a carga aplicada e a distensão da mola.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Método dos Mínimos Quadrados (MMQ). Esse método serve para encontrar a reta que melhor se ajusta aos dados experimentais, minimizando a soma dos quadrados das diferenças entre os valores observados e os valores previstos pela reta.
A equação geral da reta que queremos encontrar é:
onde:
- $ y $ é a distensão da mola,
- $ x $ é a carga aplicada,
- $ a $ é o coeficiente angular (indica a inclinação da reta),
- $ b $ é o coeficiente linear (indica onde a reta cruza o eixo Y).
Passo 3
Para aplicar o MMQ, precisamos calcular algumas somas importantes a partir dos dados fornecidos:
- Soma de todos os valores de $ x $ ($ \sum x $)
- Soma de todos os valores de $ y $ ($ \sum y $)
- Soma dos produtos de $ x $ e $ y $ ($ \sum xy $)
- Soma dos quadrados dos valores de $ x $ ($ \sum x^2 $)
- Número de pares de dados ($ n $)
Vamos calcular cada uma dessas somas com os dados fornecidos:
Calculando as somas:
Passo 4
Agora que temos todas as somas necessárias, vamos calcular o coeficiente angular $ a $ e o coeficiente linear $ b $ usando as fórmulas do MMQ:
Vamos substituir os valores que calculamos:
Primeiro, calculando $ a $:
Calculando o numerador:
Calculando o denominador:
Agora, calculando $ a $:
Passo 5
Com o valor de $ a $ encontrado, vamos agora calcular $ b $:
Calculando $ 6,77 \cdot 517,89 $:
Subtraindo de $ \sum y $:
Agora, dividindo por $ n = 6 $:
Resposta
A melhor reta que se ajusta aos dados experimentais, utilizando o Método dos Mínimos Quadrados, é: