Um aluno executa uma prática no laboratório de física reproduzindo a lei de Hooke. Para cada massa ( xi ) ele obtém a leitura de distensão ( yi ) de uma mola. Os dados experimentais estão listados na tabela a seguir.
X (carga g ) Y (comprimento cm )
22,60 22,50
50,03 32,50
72,65 49,00
99,92 65,00
122,70 76,00
149,99 90,00
Utilizando o MMQ, encontre a melhor reta que se ajusta aos dados experimentais.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma tabela com dados de cargas (X) e as respectivas distensões das molas (Y) que um aluno mediu no laboratório de física, aplicando a Lei de Hooke. Nosso objetivo aqui é usar o método dos mínimos quadrados (MMQ) para encontrar a melhor reta que se ajusta a esses dados. Isso vai nos ajudar a entender a relação entre a carga aplicada e a distensão da mola.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Método dos Mínimos Quadrados (MMQ). Esse método serve para encontrar a reta que melhor se ajusta aos dados experimentais, minimizando a soma dos quadrados das diferenças entre os valores observados e os valores previstos pela reta.
A equação geral da reta que queremos encontrar é:
y = a cdot x + b
onde:
  • $ y $ é a distensão da mola,
  • $ x $ é a carga aplicada,
  • $ a $ é o coeficiente angular (indica a inclinação da reta),
  • $ b $ é o coeficiente linear (indica onde a reta cruza o eixo Y).

Passo 3

Para aplicar o MMQ, precisamos calcular algumas somas importantes a partir dos dados fornecidos:
  1. Soma de todos os valores de $ x $ ($ \sum x $)
  2. Soma de todos os valores de $ y $ ($ \sum y $)
  3. Soma dos produtos de $ x $ e $ y $ ($ \sum xy $)
  4. Soma dos quadrados dos valores de $ x $ ($ \sum x^2 $)
  5. Número de pares de dados ($ n $)
Vamos calcular cada uma dessas somas com os dados fornecidos:
x
Calculando as somas:
sum x

Passo 4

Agora que temos todas as somas necessárias, vamos calcular o coeficiente angular $ a $ e o coeficiente linear $ b $ usando as fórmulas do MMQ:
a
b
Vamos substituir os valores que calculamos:
Primeiro, calculando $ a $:
a = n cdot sum xy - sum x cdot sum yn cdot sum x^2 - (sum x)^2
Calculando o numerador:
b = sum y - a cdot sum xn
a
a = 6 cdot 35910,325 - 517,89 cdot 335,006 cdot 45732,88 - (517,89)^2
Calculando o denominador:
6 cdot 35910,325 = 215461,95
517,89 cdot 335,00 = 173691,15
215461,95 - 173691,15 = 41770,80
Agora, calculando $ a $:
6 cdot 45732,88 = 274397,28

Passo 5

Com o valor de $ a $ encontrado, vamos agora calcular $ b $:
a
Calculando $ 6,77 \cdot 517,89 $:
b
Subtraindo de $ \sum y $:
b = 335,00 - 6,77 cdot 517,896
Agora, dividindo por $ n = 6 $:
6,77 cdot 517,89

Resposta

A melhor reta que se ajusta aos dados experimentais, utilizando o Método dos Mínimos Quadrados, é:
y = 6,77 cdot x - 528,04

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