Num experimento de laboratório, você realiza n medidas da variável dependente y, relacionada à variável independente x . Ao plotar um diagrama de dispersão, você percebe que a relação entre x e y é linear, portanto, decide aplicar o método dos mínimos quadrados, a fim de encontrar a melhor curva do tipo
que se adeque aos seus dados experimentais.
Mostre que os coeficientes a e b são dados por:
Mostre que os coeficientes a e b são dados por:
Passo 1
Beleza, galera! Vamos resolver esse exercício que envolve regressão linear usando o método dos mínimos quadrados. A gente tem uma relação linear entre duas variáveis, $ x $ e $ y $, e queremos encontrar os coeficientes $ a $ e $ b $ na equação $ y = a x + b $ que melhor se ajustam aos nossos dados experimentais. Para isso, vamos precisar somar alguns produtos e quadrados dos valores de $ x $ e $ y $.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o método dos mínimos quadrados. Ele serve para encontrar a linha que melhor “encaixa” nos nossos pontos do experimento, minimizando a soma dos quadrados das diferenças entre os valores observados e os valores previstos pela linha. Essa soma é chamada de soma dos quadrados dos erros.
Passo 3
Vamos definir a soma dos quadrados dos erros, $ S $, da seguinte forma:
Nosso objetivo é encontrar os valores de $ a $ e $ b $ que minimizam $ S $. Para isso, vamos calcular as derivadas parciais de $ S $ em relação a $ a $ e $ b $, e igualar a zero.
Passo 4
Primeiro, calculamos a derivada parcial de $ S $ em relação a $ a $:
Simplificando, temos:
Agora, fazemos o mesmo para $ b $:
Simplificando, fica:
Passo 5
Agora temos um sistema de duas equações com duas incógnitas ($ a $ e $ b $). Vamos resolver esse sistema.
Da Equação 2, podemos isolar $ b $:
Vamos substituir $ b $ da Equação 3 na Equação 1:
Multiplicando todos os termos por $ n $ para eliminar o denominador:
Distribuindo:
Agrupando os termos com $ a $:
Isolando $ a $:
Passo 6
Agora que temos $ a $, podemos substituir de volta na Equação 3 para encontrar $ b $:
Substituindo $ a $ pela expressão que encontramos:
Simplificando:
Resposta
Os coeficientes $ a $ e $ b $ são dados por: