Num experimento de laboratório, você realiza n medidas da variável dependente y, relacionada à variável independente x . Ao plotar um diagrama de dispersão, você percebe que a relação entre x e y é linear, portanto, decide aplicar o método dos mínimos quadrados, a fim de encontrar a melhor curva do tipo
y=a x+b
que se adeque aos seus dados experimentais.
Mostre que os coeficientes a e b são dados por:
c a=n sum x y-sum x sum yn sum x^2-(sum x)^2 b=sum y sum x^2-sum x sum x yn sum x^2-(sum x)^2

Passo 1

Beleza, galera! Vamos resolver esse exercício que envolve regressão linear usando o método dos mínimos quadrados. A gente tem uma relação linear entre duas variáveis, $ x $ e $ y $, e queremos encontrar os coeficientes $ a $ e $ b $ na equação $ y = a x + b $ que melhor se ajustam aos nossos dados experimentais. Para isso, vamos precisar somar alguns produtos e quadrados dos valores de $ x $ e $ y $.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o método dos mínimos quadrados. Ele serve para encontrar a linha que melhor “encaixa” nos nossos pontos do experimento, minimizando a soma dos quadrados das diferenças entre os valores observados e os valores previstos pela linha. Essa soma é chamada de soma dos quadrados dos erros.

Passo 3

Vamos definir a soma dos quadrados dos erros, $ S $, da seguinte forma:
S
Nosso objetivo é encontrar os valores de $ a $ e $ b $ que minimizam $ S $. Para isso, vamos calcular as derivadas parciais de $ S $ em relação a $ a $ e $ b $, e igualar a zero.

Passo 4

Primeiro, calculamos a derivada parcial de $ S $ em relação a $ a $:
S
Simplificando, temos:
a çã
Agora, fazemos o mesmo para $ b $:
partial Spartial a = -2 sumi=1^n xi (yi - a xi - b) = 0
Simplificando, fica:
sum x y - a sum x^2 - b sum x = 0 (Equação 1) çã

Passo 5

Agora temos um sistema de duas equações com duas incógnitas ($ a $ e $ b $). Vamos resolver esse sistema.
Da Equação 2, podemos isolar $ b $:
a çã
Vamos substituir $ b $ da Equação 3 na Equação 1:
b
Multiplicando todos os termos por $ n $ para eliminar o denominador:
b
Distribuindo:
b = sum y - a sum xn (Equação 3)
Agrupando os termos com $ a $:
b
Isolando $ a $:
sum x y - a sum x^2 - ( sum y - a sum xn ) sum x = 0

Passo 6

Agora que temos $ a $, podemos substituir de volta na Equação 3 para encontrar $ b $:
a
Substituindo $ a $ pela expressão que encontramos:
b
Simplificando:
b = sum y - a sum xn

Resposta

Os coeficientes $ a $ e $ b $ são dados por:
a

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