Os alunos do curso de computação da UFSC solicitaram à TELESC que aumentasse o tempo de utilização dos telefones públicos permitido por uma ficha telefônica (atualmente 3 minutos). Argumentam que os usuários necessitam de um tempo maior. A TELESC contratou você para fazer a análise de tempos de utilização e afirmou que não tem interesse em mudar o sistema atual devido aos altos custos da mudança. Como responsável pelo estudo você observou o tempo de 40 usuários, selecionados aleatoriamente, em um orelhão sorteado dentre os existentes na cidade. Foram obtidas as seguintes estatísticas amostrais: média
segundos; desvio padrão
segundos. Considerando que o tempo de utilização segue uma distribuição normal, resolva os seguintes itens:
b) Especifique uma folga máxima e verifique se a amostra já coletada é suficiente para a estimação da média. (*)R. Com 95% de confiança e precisão de 1 segundo, n >= 385.
b) Especifique uma folga máxima e verifique se a amostra já coletada é suficiente para a estimação da média. (*)R. Com 95% de confiança e precisão de 1 segundo, n >= 385.
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos um cenário onde os alunos querem aumentar o tempo de uso dos telefones públicos. A TELESC fez uma pesquisa com 40 usuários e encontrou uma média de 185 segundos e um desvio padrão de 10 segundos. A gente precisa especificar uma folga máxima (ou margem de erro) e verificar se a amostra que já foi coletada é suficiente para estimar a média com certo nível de confiança.
Matéria envolvida: Estimação de parâmetros da média populacional usando intervalos de confiança e cálculo do tamanho da amostra.
O que vamos precisar: Fórmula para cálculo do tamanho da amostra para estimação da média, entender o nível de confiança e a precisão desejada.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a folga máxima ou margem de erro. Ela representa quão perto queremos que a nossa estimativa da média esteja do valor real da população. No caso, a precisão desejada é de 1 segundo, ou seja, queremos que a média estimada esteja dentro de 1 segundo da média real com um certo nível de confiança.
Passo 3
Para calcular o tamanho da amostra necessário, usamos a fórmula:
Onde:
- $ n $ é o tamanho da amostra.
- $ Z $ é o valor crítico da distribuição normal correspondente ao nível de confiança desejado.
- $ \sigma $ é o desvio padrão da população.
- $ E $ é a margem de erro (precisão) desejada.
Passo 4
Primeiro, identificamos os valores que temos:
- Nível de confiança: 95%
- Desvio padrão ($ \sigma $): 10 segundos
- Precisão ($ E $): 1 segundo
Para um nível de confiança de 95%, o valor crítico $ Z $ é aproximadamente 1,96 (você encontra isso em tabelas de distribuição normal ou usando calculadoras estatísticas).
Passo 5
Agora, substituímos os valores na fórmula:
Como o tamanho da amostra precisa ser um número inteiro, arredondamos para cima:
Resposta
Com 95% de confiança e precisão de 1 segundo, o tamanho mínimo da amostra necessário é de 385 usuários.