Em uma fábrica as falhas no equipamento industrial ocorrem segundo uma distribuição exponencial. Sabe-se que a probabilidade de que a primeira falha ocorra após uma hora de trabalho é de 0,22313.
b) Podemos afirmar que é de 0,91 a probabilidade de que a primeira falha ocorre antes dos 30 minutos iniciais de trabalho? (R.: Não)
b) Podemos afirmar que é de 0,91 a probabilidade de que a primeira falha ocorre antes dos 30 minutos iniciais de trabalho? (R.: Não)
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem que analisar falhas em um equipamento industrial que seguem uma distribuição exponencial. Primeiro, precisamos entender o que isso significa e quais informações vamos usar para resolver o problema. A questão pergunta se a probabilidade de que a primeira falha ocorra antes dos 30 minutos é 0,91, e já sabe que a probabilidade da primeira falha ocorrer após uma hora é 0,22313. Vamos usar isso para chegar na resposta.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funciona a distribuição exponencial. Ela é usada para modelar o tempo entre eventos que acontecem de forma contínua e independente, como falhas de equipamentos. A função de sobrevivência, que dá a probabilidade de que o tempo até o primeiro evento seja maior que um certo valor $ t $, é dada por:
Onde:
- $ \lambda $ é a taxa de ocorrência das falhas.
- $ t $ é o tempo.
Passo 3
A questão já nos deu que a probabilidade da primeira falha ocorrer após uma hora ($ t = 1 $ hora) é 0,22313. Então podemos usar essa informação para encontrar o valor de $ \lambda $.
Para encontrar $ \lambda $, vamos resolver a equação:
Tirando o logaritmo natural de ambos os lados:
Calculando:
Passo 4
Agora que temos $ \lambda \approx 1,5 $, podemos calcular a probabilidade de que a primeira falha ocorra antes dos 30 minutos. Como 30 minutos é metade de uma hora, vamos usar $ t = 0,5 $ horas.
A probabilidade de que a falha ocorra antes de $ t $ é:
Substituindo os valores:
Calculando:
Resposta
Não, a probabilidade de que a primeira falha ocorra antes dos 30 minutos é aproximadamente 0,528, e não 0,91.