Em uma fábrica as falhas no equipamento industrial ocorrem segundo uma distribuição exponencial. Sabe-se que a probabilidade de que a primeira falha ocorra após uma hora de trabalho é de 0,22313.
b) Podemos afirmar que é de 0,91 a probabilidade de que a primeira falha ocorre antes dos 30 minutos iniciais de trabalho? (R.: Não)

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem que analisar falhas em um equipamento industrial que seguem uma distribuição exponencial. Primeiro, precisamos entender o que isso significa e quais informações vamos usar para resolver o problema. A questão pergunta se a probabilidade de que a primeira falha ocorra antes dos 30 minutos é 0,91, e já sabe que a probabilidade da primeira falha ocorrer após uma hora é 0,22313. Vamos usar isso para chegar na resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona a distribuição exponencial. Ela é usada para modelar o tempo entre eventos que acontecem de forma contínua e independente, como falhas de equipamentos. A função de sobrevivência, que dá a probabilidade de que o tempo até o primeiro evento seja maior que um certo valor $ t $, é dada por:
t
Onde:
  • $ \lambda $ é a taxa de ocorrência das falhas.
  • $ t $ é o tempo.

Passo 3

A questão já nos deu que a probabilidade da primeira falha ocorrer após uma hora ($ t = 1 $ hora) é 0,22313. Então podemos usar essa informação para encontrar o valor de $ \lambda $.
t = 1
Para encontrar $ \lambda $, vamos resolver a equação:
lambda
Tirando o logaritmo natural de ambos os lados:
P(T > 1) = e^-lambda times 1 = 0,22313
lambda
Calculando:
e^-lambda = 0,22313

Passo 4

Agora que temos $ \lambda \approx 1,5 $, podemos calcular a probabilidade de que a primeira falha ocorra antes dos 30 minutos. Como 30 minutos é metade de uma hora, vamos usar $ t = 0,5 $ horas.
A probabilidade de que a falha ocorra antes de $ t $ é:
lambda approx 1,5
Substituindo os valores:
t = 0,5
Calculando:
t
P(T <= t) = 1 - e^-lambda t

Resposta

Não, a probabilidade de que a primeira falha ocorra antes dos 30 minutos é aproximadamente 0,528, e não 0,91.

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