Um alvo é feito com uma tábua quadrada pintada de branco, com exceção de um círculo no seu centro que é pintado de preto. As regras de uma prova são definidas da seguinte forma: o atirador que acertar no centro preto ganha 18 pontos, se acertar na parte branca da tábua ganha 8 pontos e se não acertar na tábua perde 2 pontos.
a) Um atirador atira no alvo: defina formalmente o espaço dos resultados deste experimento e a variável aleatória número de pontos.
b) O desempenho do atirador pode ser assim resumido: (acertar no centro) acertar na parte branca . Calcule média e variância do número de pontos para o atirador.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um alvo quadrado com um círculo preto no centro. Quando um atirador atira nesse alvo, ele pode ganhar ou perder pontos dependendo de onde a flecha acerta. A matéria envolvida aqui é Probabilidade e Estatística, especificamente sobre definição de espaço amostral e variáveis aleatórias, além de cálculo de média e variância de uma variável aleatória discreta. Vamos precisar entender como definir todas as possíveis situações do experimento e depois aplicar fórmulas de média e variância para calcular os valores pedidinhos.
Passo 2
Vamos resolver a parte a). Primeiro, precisamos definir formalmente o espaço amostral desse experimento. O espaço amostral é o conjunto de todos os possíveis resultados que podem acontecer quando o atirador dispara.
Aqui, temos três possibilidades:
Acertar o centro preto: o atirador ganha 18 pontos.
Acertar a parte branca: o atirador ganha 8 pontos.
Errar o alvo: o atirador perde 2 pontos.
Então, o espaço amostral (S) é:
Agora, definimos a variável aleat��ria como o número de pontos que o atirador ganha ou perde. Assim, atribuímos valores a cada elemento do espaço amostral:
Se acertar o centro preto:
Se acertar a parte branca:
Se errar o alvo:
Então, a variável aleatória é descrita por:
Passo 3
Agora, vamos para a parte b). Aqui, temos as probabilidades de cada resultado:
Probabilidade de acertar o centro preto: E(X) = sum x cdot P(x)
Probabilidade de acertar a parte branca: E(X) = (18 times 0.2) + (8 times 0.7) + (-2 times 0.1)
Como essas probabilidades somam 0.9, a probabilidade de errar o alvo é E(X) = 3.6 + 5.6 - 0.2 , ou seja, E(X) = 9.0
Agora, para calcular a média (ou valor esperado) de Var(X) = E(X^2) - (E(X))^2 , usamos a fórmula:
E(X^2) = (18^2 times 0.2) + (8^2 times 0.7) + ((-2)^2 times 0.1)
Aplicando os valores:
E(X^2) = (324 times 0.2) + (64 times 0.7) + (4 times 0.1)
E(X^2) = 64.8 + 44.8 + 0.4
E(X^2) = 110.0
Então, a média de pontos é 9.
Para calcular a variância de Var(X) = 110.0 - (9.0)^2 , usamos a fórmula:
Var(X) = 110.0 - 81.0
Primeiro, calculamos Var(X) = 29.0 :
Agora, temos:
Resposta
a) O espaço amostral é X = 18 & se acerta o Centro 8 & se acerta o Branco -2 & se erra o Alvo e a variável aleatória está definida por:
b) A média do número de pontos é 9 e a variância é 29.