Um bit (0 ou 1) de informação é transmitido por um canal com ruído. Seja p a probabilidade de que seja erradamente recebido. Para melhorar a transmissão uma alternativa é utilizar um decodificador de maioria de dois em três, ou seja, enviar de forma independente 3 vezes a mesma informação registrando como resultado aquela que foi recebida pelo menos duas vezes. Para quais valores de p o decodificador de maioria de dois em três é melhor que a transmissão pela única vez?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre transmitir um bit (0 ou 1) através de um canal com ruído, onde a chance de erro é p. Queremos comparar duas formas de transmissão:
  1. Enviar o bit uma vez.
  2. Enviar o mesmo bit 3 vezes e usar a maioria (decodificador de maioria de dois em três).
Vamos ver para quais valores de p a segunda opção é melhor que a primeira. Para isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre probabilidade e como calcular a chance de erro em cada método.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a probabilidade de erro quando enviamos o bit apenas uma vez. Se a probabilidade de erro é p, então essa é exatamente a chance de receber o bit errado. Ou seja, a probabilidade de erro na transmissão única é:
Perro, único = p ú

Passo 3

Agora, vamos analisar a segunda opção: enviar o bit 3 vezes e decidir pelo valor que aparecer pelo menos duas vezes. Isso é como tirar uma maioria simples. Para que haja um erro na decisão, pelo menos duas das três transmissões precisam ter errado. Vamos calcular essa probabilidade.

Passo 4

Vamos considerar os diferentes cenários em que ocorrem erros:
  1. Exatamente duas transmissões erram.
  2. Todas as três transmissões erram.
A probabilidade de exatamente duas transmissões errarem é dada por:
Pexatamente 2 erros = 3 times p^2 times (1 - p)
Aqui, o 3 vem das combinações possíveis de quais duas transmissões erram.
A probabilidade de todas as três transmissões errarem é:
P3 erros = p^3

Passo 5

Somando essas duas probabilidades, temos a probabilidade total de erro quando usamos o decodificador de maioria de dois em três:
Perro, maioria = 3p^2(1 - p) + p^3 = 3p^2 - 2p^3

Passo 6

Queremos saber para quais valores de p o método de maioria é melhor, ou seja, quando Perro, maioria < Perro, únicoú. Vamos montar a inequação:
3p^2 - 2p^3 < p

Passo 7

Vamos resolver a inequação:
3p^2 - 2p^3 - p < 0 -2p^3 + 3p^2 - p < 0 p(-2p^2 + 3p - 1) < 0
Agora, resolvemos a equação -2p^2 + 3p - 1 = 0 para encontrar os pontos críticos:
-2p^2 + 3p - 1 = 0 2p^2 - 3p + 1 = 0 p = 3 pm raiz9 - 84 = 3 pm 14 p = 1 ou p = 12

Passo 8

Analisando a inequação p(-2p^2 + 3p - 1) < 0 e os pontos críticos p = 12 e p = 1, verificamos os intervalos onde a inequação é verdadeira:
  • Para 0 < p < 12, Perro, maioria < Perro, únicoú.
  • Para 12 < p < 1, Perro, maioria > Perro, únicoú.

Resposta

O decodificador de maioria de dois em três é melhor que a transmissão única quando a probabilidade de erro p está entre 0 e 12. Ou seja, para valores de p tais que:
0 < p < 12

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