Um bit (0 ou 1) de informação é transmitido por um canal com ruído. Seja
a probabilidade de que seja erradamente recebido. Para melhorar a transmissão uma alternativa é utilizar um decodificador de maioria de dois em três, ou seja, enviar de forma independente 3 vezes a mesma informação registrando como resultado aquela que foi recebida pelo menos duas vezes. Para quais valores de
o decodificador de maioria de dois em três é melhor que a transmissão pela única vez?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre transmitir um bit (0 ou 1) através de um canal com ruído, onde a chance de erro é
. Queremos comparar duas formas de transmissão:
- Enviar o bit uma vez.
- Enviar o mesmo bit 3 vezes e usar a maioria (decodificador de maioria de dois em três).
Vamos ver para quais valores de
a segunda opção é melhor que a primeira. Para isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre probabilidade e como calcular a chance de erro em cada método.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a probabilidade de erro quando enviamos o bit apenas uma vez. Se a probabilidade de erro é
, então essa é exatamente a chance de receber o bit errado. Ou seja, a probabilidade de erro na transmissão única é:
Passo 3
Agora, vamos analisar a segunda opção: enviar o bit 3 vezes e decidir pelo valor que aparecer pelo menos duas vezes. Isso é como tirar uma maioria simples. Para que haja um erro na decisão, pelo menos duas das três transmissões precisam ter errado. Vamos calcular essa probabilidade.
Passo 4
Vamos considerar os diferentes cenários em que ocorrem erros:
- Exatamente duas transmissões erram.
- Todas as três transmissões erram.
A probabilidade de exatamente duas transmissões errarem é dada por:
Aqui, o 3 vem das combinações possíveis de quais duas transmissões erram.
A probabilidade de todas as três transmissões errarem é:
Passo 5
Somando essas duas probabilidades, temos a probabilidade total de erro quando usamos o decodificador de maioria de dois em três:
Passo 6
Queremos saber para quais valores de
o método de maioria é melhor, ou seja, quando
. Vamos montar a inequação:
Passo 7
Vamos resolver a inequação:
Agora, resolvemos a equação
para encontrar os pontos críticos:
Passo 8
Analisando a inequação
e os pontos críticos
e
, verificamos os intervalos onde a inequação é verdadeira:
- Para
, . - Para
, .
Resposta
O decodificador de maioria de dois em três é melhor que a transmissão única quando a probabilidade de erro
está entre 0 e
. Ou seja, para valores de
tais que: