Um bit (0 ou 1) de informação é transmitido por um canal com ruído. Seja a probabilidade de que seja erradamente recebido. Para melhorar a transmissão uma alternativa é utilizar um decodificador de maioria de dois em três, ou seja, enviar de forma independente 3 vezes a mesma informação registrando como resultado aquela que foi recebida pelo menos duas vezes. Para quais valores de o decodificador de maioria de dois em três é melhor que a transmissão pela única vez?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre transmitir um bit (0 ou 1) através de um canal com ruído, onde a chance de erro é . Queremos comparar duas formas de transmissão:
  1. Enviar o bit uma vez.
  2. Enviar o mesmo bit 3 vezes e usar a maioria (decodificador de maioria de dois em três).
Vamos ver para quais valores de a segunda opção é melhor que a primeira. Para isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre probabilidade e como calcular a chance de erro em cada método.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a probabilidade de erro quando enviamos o bit apenas uma vez. Se a probabilidade de erro é , então essa é exatamente a chance de receber o bit errado. Ou seja, a probabilidade de erro na transmissão única é:
ú

Passo 3

Agora, vamos analisar a segunda opção: enviar o bit 3 vezes e decidir pelo valor que aparecer pelo menos duas vezes. Isso é como tirar uma maioria simples. Para que haja um erro na decisão, pelo menos duas das três transmissões precisam ter errado. Vamos calcular essa probabilidade.

Passo 4

Vamos considerar os diferentes cenários em que ocorrem erros:
  1. Exatamente duas transmissões erram.
  2. Todas as três transmissões erram.
A probabilidade de exatamente duas transmissões errarem é dada por:
Aqui, o 3 vem das combinações possíveis de quais duas transmissões erram.
A probabilidade de todas as três transmissões errarem é:

Passo 5

Somando essas duas probabilidades, temos a probabilidade total de erro quando usamos o decodificador de maioria de dois em três:

Passo 6

Queremos saber para quais valores de o método de maioria é melhor, ou seja, quando ú. Vamos montar a inequação:

Passo 7

Vamos resolver a inequação:
Agora, resolvemos a equação para encontrar os pontos críticos:

Passo 8

Analisando a inequação e os pontos críticos e , verificamos os intervalos onde a inequação é verdadeira:
  • Para , ú.
  • Para , ú.

Resposta

O decodificador de maioria de dois em três é melhor que a transmissão única quando a probabilidade de erro está entre 0 e . Ou seja, para valores de tais que:

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