Calcule a esperança e variança das seguintes distribuições:
a) Variável Aleatória Binomial
b) Variável Aleatória Geométrica
c) Variável Aleatória Bernoulli

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para calcular a esperança e a variância de três tipos de Variáveis Aleatórias: Binomial, Geométrica e Bernoulli. A gente vai precisar entender o que cada uma dessas distribuições representa e quais são as fórmulas para calcular essas medidas. Vamos por partes!

Passo 2

a) Variável Aleatória Binomial
Primeiro, vamos falar sobre a Distribuição Binomial. Ela descreve o número de sucessos em uma sequência de n tentativas independentes, onde cada tentativa tem uma probabilidade p de sucesso.
  • Esperança (Média):
A fórmula para a esperança de uma variável binomial é:
E(X) = n times p
Isso significa que, em média, a gente espera n × p sucessos.
  • Variância:
A variança é medida de quão dispersos os valores estão em relação à média. Para a binomial, a fórmula é:
Var(X) = n times p times (1 - p)
Então, a variância depende tanto da probabilidade de sucesso quanto do número de tentativas.

Passo 3

b) Variável Aleatória Geométrica
Agora, vamos para a Distribuição Geométrica. Ela representa o número de tentativas até o primeiro sucesso em uma sequência de tentativas independentes, cada uma com probabilidade p de sucesso.
  • Esperança (Média):
A esperança dessa distribuição é:
E(X) = 1p
Isso quer dizer que, em média, vai levar 1/p tentativas para obter o primeiro sucesso.
  • Variância:
A variância para a variável geométrica é dada por:
Var(X) = 1 - pp^2
Isso indica que a variância depende inversamente do quadrado da probabilidade de sucesso.

Passo 4

c) Variável Aleatória Bernoulli
Por último, temos a Distribuição Bernoulli. Essa é uma distribuição muito simples que descreve uma única tentativa que pode resultar em sucesso (com probabilidade p) ou fracasso (com probabilidade 1 - p).
  • Esperança (Média):
Para a Bernoulli, a esperança é:
E(X) = p
Ou seja, a média é simplesmente a probabilidade de sucesso.
  • Variância:
E a variância é calculada por:
Var(X) = p times (1 - p)
Isso mostra a variância baseada na probabilidade de sucesso e fracasso.

Resposta

Resumindo, as esperanças e variâncias das distribuições são:
a) Binomial:
E(X) = n times p e Var(X) = n times p times (1 - p)
b) Geométrica:
E(X) = 1p e Var(X) = 1 - pp^2
c) Bernoulli:
E(X) = p e Var(X) = p times (1 - p)

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