Calcule a esperança e variança das seguintes distribuições:
a) Variável Aleatória Binomial
b) Variável Aleatória Geométrica
c) Variável Aleatória Bernoulli
a) Variável Aleatória Binomial
b) Variável Aleatória Geométrica
c) Variável Aleatória Bernoulli
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para calcular a esperança e a variância de três tipos de Variáveis Aleatórias: Binomial, Geométrica e Bernoulli. A gente vai precisar entender o que cada uma dessas distribuições representa e quais são as fórmulas para calcular essas medidas. Vamos por partes!
Passo 2
a) Variável Aleatória Binomial
Primeiro, vamos falar sobre a Distribuição Binomial. Ela descreve o número de sucessos em uma sequência de n tentativas independentes, onde cada tentativa tem uma probabilidade p de sucesso.
- Esperança (Média):
A fórmula para a esperança de uma variável binomial é:
Isso significa que, em média, a gente espera n × p sucessos.
- Variância:
A variança é medida de quão dispersos os valores estão em relação à média. Para a binomial, a fórmula é:
Então, a variância depende tanto da probabilidade de sucesso quanto do número de tentativas.
Passo 3
b) Variável Aleatória Geométrica
Agora, vamos para a Distribuição Geométrica. Ela representa o número de tentativas até o primeiro sucesso em uma sequência de tentativas independentes, cada uma com probabilidade p de sucesso.
- Esperança (Média):
A esperança dessa distribuição é:
Isso quer dizer que, em média, vai levar 1/p tentativas para obter o primeiro sucesso.
- Variância:
A variância para a variável geométrica é dada por:
Isso indica que a variância depende inversamente do quadrado da probabilidade de sucesso.
Passo 4
c) Variável Aleatória Bernoulli
Por último, temos a Distribuição Bernoulli. Essa é uma distribuição muito simples que descreve uma única tentativa que pode resultar em sucesso (com probabilidade p) ou fracasso (com probabilidade 1 - p).
- Esperança (Média):
Para a Bernoulli, a esperança é:
Ou seja, a média é simplesmente a probabilidade de sucesso.
- Variância:
E a variância é calculada por:
Isso mostra a variância baseada na probabilidade de sucesso e fracasso.
Resposta
Resumindo, as esperanças e variâncias das distribuições são:
a) Binomial:
b) Geométrica:
c) Bernoulli: