Um atirador acerta na mosca do alvo, dos tiros. Qual a probabilidade de ele acertar na mosca pela primeira vez no tiro?

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos um atirador que acerta na mosca com uma probabilidade de a cada tiro. A pergunta é: qual a chance dele acertar pela primeira vez no 10º tiro?
Vamos usar conceitos de probabilidade e mais especificamente da distribuição geométrica, que é útil quando queremos saber a probabilidade de que o primeiro sucesso aconteça em um determinado ensaio.

Passo 2

A distribuição geométrica nos diz a probabilidade de que a primeira ocorrência de sucesso (no caso, um acerto) ocorra no n-ésimo teste. A fórmula geral para essa distribuição é:
Onde:
  • é a probabilidade de sucesso no n-ésimo tiro.
  • é a probabilidade de sucesso em cada tiro (aqui, ).
  • é a probabilidade de falha em cada tiro.

Passo 3

Agora, vamos aplicar os valores que temos na fórmula. Queremos saber a probabilidade de acertar pela primeira vez no 10º tiro, então e . Substituindo na fórmula:

Passo 4

Vamos calcular passo a passo:
  1. Primeiro, calculamos :
  1. Elevamos esse valor à potência de :
  1. Finalmente, multiplicamos pelo :

Resposta

A probabilidade de o atirador acertar na mosca pela primeira vez no 10º tiro é aproximadamente 2,68%.

Exercícios relacionados

Calcule a esperança e variança das seguintes distribuições:
a) Variável Aleatória Binomial
b) Variável Aleatória Geométrica
c) Variável Aleatória Bernoulli
Ao tirar 5 cartas de um baralho embaralhado, a probabilidade de uma mão ter exatamente um par é de cerca de 0,42257 . Se você quiser que a probabilidade de tirar um par dentro de retiradas independentes seja pelo menos 0,99 , então quantas retiradas devem ser feita?
Um alvo é feito com uma tábua quadrada pintada de branco, com exceção de um círculo no seu centro que é pintado de preto. As regras de uma prova são definidas da seguinte forma: o atirador que acertar no centro preto ganha 18 pontos, se acertar na parte branca da tábua ganha 8 pontos e se não acertar na tábua perde 2 pontos.
a) Um atirador atira no alvo: defina formalmente o espaço dos resultados deste experimento e a variável aleatória número de pontos.
b) O desempenho do atirador pode ser assim resumido: (acertar no centro) acertar na parte branca . Calcule média e variância do número de pontos para o atirador.
Um supermercado vende uma caixa com 20 lâmpadas, das quais 4 são defeituosas e as restantes boas. Um comprador decide testar 5 das lâmpadas (obviamente sem reposição) escolhidas ao acaso e comprar a caixa caso haja no máximo duas defeituosas entre as lâmpadas testadas. Qual é a probabilidade de comprar a caixa? Qual é a distribuição do número de itens defeituosos?