Um supermercado vende uma caixa com 20 lâmpadas, das quais 4 são defeituosas e as restantes boas. Um comprador decide testar 5 das lâmpadas (obviamente sem reposição) escolhidas ao acaso e comprar a caixa caso haja no máximo duas defeituosas entre as lâmpadas testadas. Qual é a probabilidade de comprar a caixa? Qual é a distribuição do número de itens defeituosos?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre probabilidade e distribuição de probabilidade, especificamente usando a distribuição hipergeométrica. A gente tem uma caixa com 20 lâmpadas, das quais 4 são defeituosas. Um comprador vai testar 5 lâmpadas sem reposição e vai decidir comprar a caixa se encontrar no máximo 2 lâmpadas defeituosas. Precisamos descobrir qual é a chance dele comprar a caixa e qual é a distribuição do número de lâmpadas defeituosas encontradas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a distribuição hipergeométrica. Ela é usada quando estamos lidando com amostras sem reposição. No nosso caso, temos:
-
(total de lâmpadas) -
(lâmpadas defeituosas) -
(lâmpadas testadas) -
(número de lâmpadas defeituosas encontradas na amostra)
A fórmula da probabilidade hipergeométrica é:
Isso nos dá a probabilidade de encontrar exatamente
lâmpadas defeituosas em uma amostra de
.
Passo 3
Agora, queremos a probabilidade de comprar a caixa, ou seja, encontrar no máximo 2 lâmpadas defeituosas (
). Então, vamos calcular
,
e
e somar essas probabilidades.
Vamos começar com
:
Depois
:
E
:
Passo 4
Vamos calcular cada uma dessas probabilidades:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Passo 5
Somando essas probabilidades para obter a chance de comprar a caixa:
Então, a probabilidade de comprar a caixa é aproximadamente 96,9%.
Resposta
A probabilidade de comprar a caixa é de aproximadamente 96,9%. Além disso, a distribuição do número de lâmpadas defeituosas encontradas segue uma distribuição hipergeométrica com parâmetros
,
, e
.