Um supermercado vende uma caixa com 20 lâmpadas, das quais 4 são defeituosas e as restantes boas. Um comprador decide testar 5 das lâmpadas (obviamente sem reposição) escolhidas ao acaso e comprar a caixa caso haja no máximo duas defeituosas entre as lâmpadas testadas. Qual é a probabilidade de comprar a caixa? Qual é a distribuição do número de itens defeituosos?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre probabilidade e distribuição de probabilidade, especificamente usando a distribuição hipergeométrica. A gente tem uma caixa com 20 lâmpadas, das quais 4 são defeituosas. Um comprador vai testar 5 lâmpadas sem reposição e vai decidir comprar a caixa se encontrar no máximo 2 lâmpadas defeituosas. Precisamos descobrir qual é a chance dele comprar a caixa e qual é a distribuição do número de lâmpadas defeituosas encontradas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a distribuição hipergeométrica. Ela é usada quando estamos lidando com amostras sem reposição. No nosso caso, temos:
  • P(X = k) = dbinomKk dbinomN - Kn - kdbinomNn (total de lâmpadas)
  • (lâmpadas defeituosas)
  • (lâmpadas testadas)
  • (número de lâmpadas defeituosas encontradas na amostra)
A fórmula da probabilidade hipergeométrica é:
Isso nos dá a probabilidade de encontrar exatamente lâmpadas defeituosas em uma amostra de .

Passo 3

Agora, queremos a probabilidade de comprar a caixa, ou seja, encontrar no máximo 2 lâmpadas defeituosas ( P(X = 0) = dbinom40 dbinom165dbinom205 ). Então, vamos calcular P(X = 1) = dbinom41 dbinom164dbinom205 , P(X = 2) = dbinom42 dbinom163dbinom205 e e somar essas probabilidades.
Vamos começar com :
Depois :
E :

Passo 4

Vamos calcular cada uma dessas probabilidades:
  1. Para P(X = 0) = 1 times 436815504 approx 0,2818 :
P(X = 1) = 4 times 182015504 approx 0,4705
  1. Para P(X = 2) = 6 times 56015504 approx 0,2167 :
  1. Para :

Passo 5

Somando essas probabilidades para obter a chance de comprar a caixa:
P(X <= 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) approx 0,2818 + 0,4705 + 0,2167 = 0,969
Então, a probabilidade de comprar a caixa é aproximadamente 96,9%.

Resposta

A probabilidade de comprar a caixa é de aproximadamente 96,9%. Além disso, a distribuição do número de lâmpadas defeituosas encontradas segue uma distribuição hipergeométrica com parâmetros , , e .

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