Para
, mostre que as seguintes funções
a)
b)
c)
são soluções do PVI
a)
b)
c)
são soluções do PVI
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a gente precisa fazer aqui. A questão pede para mostrar que três funções diferentes são soluções de um Problema de Valor Inicial (PVI). O PVI dado é:
Então, o conteúdo que vamos usar aqui é sobre derivadas e como verificar se uma função satisfaz uma equação diferencial, além de conferir se ela cumpre a condição inicial
. Vamos precisar calcular a derivada das funções dadas e ver se elas se encaixam na equação do PVI.
Passo 2
Vamos começar com a função a):
.
Primeiro, calculamos a derivada de
:
Agora, substituímos
e
na equação diferencial:
A equação é verdadeira. Além disso, verificamos a condição inicial:
Que também está satisfeita.
Passo 3
Agora vamos para a função b):
Primeiro, vamos calcular a derivada de
para cada caso.
Para
:
Para
:
Agora, substituímos
e
na equação diferencial para cada caso.
Para
:
Como
,
. Então:
Verdadeiro.
Para
:
Verdadeiro.
Além disso, verificamos a condição inicial:
Que está satisfeita.
Passo 4
Por último, vamos analisar a função c):
Primeiro, calculamos a derivada de
para cada caso.
Para
:
Para
:
Agora, substituímos
e
na equação diferencial para cada caso.
Para
:
Verdadeiro.
Para
:
Aqui,
porque
. Então:
Verdadeiro.
Além disso, verificamos a condição inicial:
Considerando , que é
(já que
):
Considerando
Que está satisfeita.
Resposta
As funções
,
e
são soluções do PVI dado.
Exercícios relacionados
Determine o interval máximo de definição das soluções dadas abaixo:
, solução do PVI
Verifique que a função
é uma solucão de
em cada um dos intervalos
ou
Determine o interval máximo de definição das soluções dadas abaixo:
, solução do PVI
Calcule a derivada
para
em cada um dos intervalos
e
e justifique que
não existe.