Para a > 0, mostre que as seguintes funções
a) y(x)=0
b) y(x) = { -x^2 se x <= 0; x^2 se x > 0 }
c) y(x) = { 0 se x <= a, (x-a)^2 se x > a }
são soluções do PVI
y' = 2 * raiz(|y|) y(0) = 0

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a gente precisa fazer aqui. A questão pede para mostrar que três funções diferentes são soluções de um Problema de Valor Inicial (PVI). O PVI dado é:
y' = 2 * raiz(|y|) y(0) = 0
Então, o conteúdo que vamos usar aqui é sobre derivadas e como verificar se uma função satisfaz uma equação diferencial, além de conferir se ela cumpre a condição inicial . Vamos precisar calcular a derivada das funções dadas e ver se elas se encaixam na equação do PVI.

Passo 2

Vamos começar com a função a): .
Primeiro, calculamos a derivada de :
Agora, substituímos e na equação diferencial:
A equação é verdadeira. Além disso, verificamos a condição inicial:
Que também está satisfeita.

Passo 3

Agora vamos para a função b):
Primeiro, vamos calcular a derivada de para cada caso.
Para :
Para :
Agora, substituímos e na equação diferencial para cada caso.
Para :
Como , . Então:
Verdadeiro.
Para :
Verdadeiro.
Além disso, verificamos a condição inicial:
Que está satisfeita.

Passo 4

Por último, vamos analisar a função c):
Primeiro, calculamos a derivada de para cada caso.
Para :
Para :
Agora, substituímos e na equação diferencial para cada caso.
Para :
Verdadeiro.
Para :
Aqui, porque . Então:
Verdadeiro.
Além disso, verificamos a condição inicial:
Considerando , que é (já que ):
Que está satisfeita.

Resposta

As funções , e são soluções do PVI dado.

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