Para , mostre que as seguintes funções
a)
b)
c)
são soluções do PVI

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a gente precisa fazer aqui. A questão pede para mostrar que três funções diferentes são soluções de um Problema de Valor Inicial (PVI). O PVI dado é:
Então, o conteúdo que vamos usar aqui é sobre derivadas e como verificar se uma função satisfaz uma equação diferencial, além de conferir se ela cumpre a condição inicial . Vamos precisar calcular a derivada das funções dadas e ver se elas se encaixam na equação do PVI.

Passo 2

Vamos começar com a função a): .
Primeiro, calculamos a derivada de :
Agora, substituímos e na equação diferencial:
A equação é verdadeira. Além disso, verificamos a condição inicial:
Que também está satisfeita.

Passo 3

Agora vamos para a função b):
Primeiro, vamos calcular a derivada de para cada caso.
Para :
Para :
Agora, substituímos e na equação diferencial para cada caso.
Para :
Como , . Então:
Verdadeiro.
Para :
Verdadeiro.
Além disso, verificamos a condição inicial:
Que está satisfeita.

Passo 4

Por último, vamos analisar a função c):
Primeiro, calculamos a derivada de para cada caso.
Para :
Para :
Agora, substituímos e na equação diferencial para cada caso.
Para :
Verdadeiro.
Para :
Aqui, porque . Então:
Verdadeiro.
Além disso, verificamos a condição inicial:
Considerando , que é (já que ):
Que está satisfeita.

Resposta

As funções , e são soluções do PVI dado.

Exercícios relacionados

Determine o interval máximo de definição das soluções dadas abaixo:
, solução do PVI
Verifique que a função é uma solucão de em cada um dos intervalos ou
Determine o interval máximo de definição das soluções dadas abaixo:
, solução do PVI
Calcule a derivada para em cada um dos intervalos e e justifique que não existe.