Verifique que a função y = |x|^(2/3) é uma solucão de 3xy' - 2y = 0 em cada um dos intervalos -\infty, 0 ou (0, infinito)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se a função é solução da equação diferencial em dois intervalos: e . Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular a derivada dessa função e depois substituir na equação para ver se ela é satisfeita em cada intervalo.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a função . O valor absoluto de pode ser escrito de forma diferente dependendo do intervalo:
  • Para : , então .
  • Para : , então (já que ).
Então, em ambos os intervalos, a função pode ser escrita como , mas a derivada precisa considerar o sinal de .

Passo 3

Vamos calcular a derivada para :
A derivada de é . Então,
Isso significa que:
  • Para : .
  • Para : Não precisamos alterar a derivada, pois o expoente já lida com o sinal.

Passo 4

Agora, vamos substituir e na equação diferencial e verificar se a igualdade é verdadeira.
Substituindo:
Simplificando:
Isso confirma que a igualdade é satisfeita.

Resposta

A função satisfaz a equação diferencial em ambos os intervalos e .

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