Verifique que a função
é uma solucão de
em cada um dos intervalos
ou
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se a função
é solução da equação diferencial
em dois intervalos:
e
. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular a derivada dessa função e depois substituir na equação para ver se ela é satisfeita em cada intervalo.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a função
. O valor absoluto de
pode ser escrito de forma diferente dependendo do intervalo:
- Para
: , então . - Para
: , então (já que ).
Então, em ambos os intervalos, a função pode ser escrita como
, mas a derivada precisa considerar o sinal de
.
Passo 3
Vamos calcular a derivada
para
:
A derivada de
é
. Então,
Isso significa que:
- Para
: . - Para
: Não precisamos alterar a derivada, pois o expoente já lida com o sinal.
Passo 4
Agora, vamos substituir
e
na equação diferencial
e verificar se a igualdade é verdadeira.
Substituindo:
Simplificando:
Isso confirma que a igualdade é satisfeita.
Resposta
A função
satisfaz a equação diferencial
em ambos os intervalos
e
.
Exercícios relacionados
(2,0): Use o teorema de Green para calcular
. (Verifique a orientação da curva antes de aplicar o teorema.)
-
e consiste no arco da curva de a e o segmento de reta de a .
Determine o interval máximo de definição das soluções dadas abaixo:
, solução do PVI
Para
, mostre que as seguintes funções
a)
b)
c)
são soluções do PVI
a)
b)
c)
são soluções do PVI