Determine o interval máximo de definição das soluções dadas abaixo: , solução do PVI
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos uma função dada por que é solução de um Problema de Valor Inicial (PVI). Esse PVI é definido por:
O objetivo aqui é descobrir qual é o intervalo máximo de definição dessa solução, ou seja, para quais valores de essa função está bem definida. Para isso, vamos precisar entender onde a expressão dentro da raiz é não negativa e também verificar se o denominador não se anula, já que isso poderia causar problemas na definição da função.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a expressão dentro da raiz quadrada: . Para que a raiz quadrada seja real e definida, o que está dentro dela precisa ser maior ou igual a zero:
Vamos resolver essa desigualdade encontrando as raízes da equação quadrática . Usando a fórmula de Bhaskara:
Então, as raízes são:
Como o coeficiente de é positivo, a parábola está voltada para cima, e a expressão será positiva fora do intervalo entre as raízes. Portanto:
Passo 3
Agora, precisamos garantir que o denominador no PVI não seja zero, pois isso causaria uma divisão por zero, o que é indefinido. Vamos calcular :
Para ser zero, a expressão dentro da raiz deveria ser zero:
Já sabemos que as soluções dessa equação são e . Portanto, em e , o denominador se anula, o que significa que esses pontos não podem estar no intervalo de definição.
Passo 4
Vamos agora combinar as informações que temos. A raiz quadrada está definida para ou , mas precisamos excluir e por causa do denominador que se anula nesses pontos. Assim, os intervalos onde a função está bem definida são:
Mas também precisamos considerar o valor inicial . O ponto está no intervalo , então o intervalo máximo de definição que contém esse ponto é .