Determine o interval máximo de definição das soluções dadas abaixo:
, solução do PVI

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente precisa encontrar o intervalo máximo em que a solução está definida. Esse é a solução de um problema inicial de valor (PVI) que envolve a equação diferencial com a condição inicial . Para resolver isso, vamos precisar entender onde a função está bem definida e onde a derivada não causa problemas, como divisões por zero.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a função . A raiz cúbica está definida para todos os números reais, então não temos restrições de domínio por causa da raiz. Isso significa que, matematicamente, está definida para qualquer valor de .

Passo 3

Agora, precisamos considerar a equação diferencial . Aqui, temos uma divisão por . Para evitar divisão por zero, não pode ser igual a zero. Então, precisamos descobrir em quais pontos é igual a zero.

Passo 4

Vamos resolver :
Então, nos pontos e . Esses são os pontos onde a derivada não está definida.

Passo 5

Como o PVI tem a condição inicial , que está entre e , a solução deve estar definida nesse intervalo. Fora desse intervalo, em ou , a função ainda está definida, mas o valor de nunca chega a zero, então a derivada continua bem definida.

Passo 6

Contudo, para garantir que a solução não encontre problemas próximos aos pontos onde , devemos considerar o intervalo onde a solução permanece contínua e diferenciável, evitando exatamente e .

Resposta

O intervalo máximo de definição da solução é .

Exercícios relacionados

Para , mostre que as seguintes funções
a)
b)
c)
são soluções do PVI
Determine o interval máximo de definição das soluções dadas abaixo:
, solução do PVI
Calcule a derivada para em cada um dos intervalos e e justifique que não existe.
Se , calcule e responda: que relação existe entre e ?