Determine o interval máximo de definição das soluções dadas abaixo:
, solução do PVI
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente precisa encontrar o intervalo máximo em que a solução
está definida. Esse
é a solução de um problema inicial de valor (PVI) que envolve a equação diferencial
com a condição inicial
. Para resolver isso, vamos precisar entender onde a função
está bem definida e onde a derivada
não causa problemas, como divisões por zero.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a função
. A raiz cúbica está definida para todos os números reais, então não temos restrições de domínio por causa da raiz. Isso significa que, matematicamente,
está definida para qualquer valor de
.
Passo 3
Agora, precisamos considerar a equação diferencial
. Aqui, temos uma divisão por
. Para evitar divisão por zero,
não pode ser igual a zero. Então, precisamos descobrir em quais pontos
é igual a zero.
Passo 4
Vamos resolver
:
Então,
nos pontos
e
. Esses são os pontos onde a derivada
não está definida.
Passo 5
Como o PVI tem a condição inicial
, que está entre
e
, a solução
deve estar definida nesse intervalo. Fora desse intervalo, em
ou
, a função ainda está definida, mas o valor de
nunca chega a zero, então a derivada
continua bem definida.
Passo 6
Contudo, para garantir que a solução não encontre problemas próximos aos pontos onde
, devemos considerar o intervalo onde a solução permanece contínua e diferenciável, evitando exatamente
e
.
Resposta
O intervalo máximo de definição da solução é
.
Exercícios relacionados
Para
, mostre que as seguintes funções
a)
b)
c)
são soluções do PVI
a)
b)
c)
são soluções do PVI
Determine o interval máximo de definição das soluções dadas abaixo:
, solução do PVI
Calcule a derivada
para
em cada um dos intervalos
e
e justifique que
não existe.
Se
, calcule
e responda: que relação existe entre
e
?