O Pedro entrou agora na universidade e foi informado de que há de possibilidade de vir a receber uma bolsa de estudo. No caso de a receber, a probabilidade de se licenciar é de 0,85 , enquanto que no caso de não a obter, a probabilidade de se licenciar é de apenas 0,45. a) Diga ao Pedro qual é a probabilidade de ele se licenciar. b) Se, daqui a uns anos, encontrar o Pedro já licenciado, qual a probabilidade de que tenha recebido a bolsa de estudo?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O Pedro tem uma chance de 30% de ganhar uma bolsa de estudo. Se ele conseguir a bolsa, a chance dele se licenciar é de 85%, e se não conseguir a bolsa, essa chance cai para 45%. A gente vai usar conceitos de Probabilidade, especificamente o Teorema da Probabilidade Total e o Teorema de Bayes, para resolver as duas partes do exercício.

Passo 2

Primeiro, vamos definir os eventos:
  • : Pedro recebe a bolsa de estudo.
  • : Pedro não recebe a bolsa de estudo.
  • : Pedro se licencia.
Sabemos que:
  • (30% de chance de receber a bolsa).
  • (70% de chance de não receber a bolsa).
  • (probabilidade de licenciar dado que recebeu a bolsa).
  • (probabilidade de licenciar dado que não recebeu a bolsa).

Passo 3

Para a parte (a), queremos encontrar , a probabilidade de Pedro se licenciar independentemente de receber ou não a bolsa. Aqui, usamos o Teorema da Probabilidade Total, que considera todas as maneiras pelas quais o evento pode ocorrer:
Substituindo os valores que temos:
Então, a probabilidade de Pedro se licenciar é de 57%.

Passo 4

Para a parte (b), queremos saber qual a probabilidade de Pedro ter recebido a bolsa sabendo que ele se licenciou, ou seja, . Aqui, usamos o Teorema de Bayes, que relaciona probabilidades condicionais:
Já calculamos , então:
Portanto, a probabilidade de que Pedro tenha recebido a bolsa sabendo que ele se licenciou é de aproximadamente 44,7%.

Resposta

a) A probabilidade de Pedro se licenciar é de 57%.
b) A probabilidade de que Pedro tenha recebido a bolsa de estudo, dado que ele se licenciou, é de aproximadamente 44,7%.

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