O Pedro entrou agora na universidade e foi informado de que há de possibilidade de vir a receber uma bolsa de estudo. No caso de a receber, a probabilidade de se licenciar é de 0,85 , enquanto que no caso de não a obter, a probabilidade de se licenciar é de apenas 0,45. a) Diga ao Pedro qual é a probabilidade de ele se licenciar. b) Se, daqui a uns anos, encontrar o Pedro já licenciado, qual a probabilidade de que tenha recebido a bolsa de estudo?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O Pedro tem uma chance de 30% de ganhar uma bolsa de estudo. Se ele conseguir a bolsa, a chance dele se licenciar é de 85%, e se não conseguir a bolsa, essa chance cai para 45%. A gente vai usar conceitos de Probabilidade, especificamente o Teorema da Probabilidade Total e o Teorema de Bayes, para resolver as duas partes do exercício.
Passo 2
Primeiro, vamos definir os eventos:
: Pedro recebe a bolsa de estudo.
: Pedro não recebe a bolsa de estudo.
: Pedro se licencia.
Sabemos que:
(30% de chance de receber a bolsa).
(70% de chance de não receber a bolsa).
(probabilidade de licenciar dado que recebeu a bolsa).
(probabilidade de licenciar dado que não recebeu a bolsa).
Passo 3
Para a parte (a), queremos encontrar , a probabilidade de Pedro se licenciar independentemente de receber ou não a bolsa. Aqui, usamos o Teorema da Probabilidade Total, que considera todas as maneiras pelas quais o evento pode ocorrer:
Substituindo os valores que temos:
Então, a probabilidade de Pedro se licenciar é de 57%.
Passo 4
Para a parte (b), queremos saber qual a probabilidade de Pedro ter recebido a bolsa sabendo que ele se licenciou, ou seja, . Aqui, usamos o Teorema de Bayes, que relaciona probabilidades condicionais:
Já calculamos , então:
Portanto, a probabilidade de que Pedro tenha recebido a bolsa sabendo que ele se licenciou é de aproximadamente 44,7%.
Resposta
a) A probabilidade de Pedro se licenciar é de 57%.
b) A probabilidade de que Pedro tenha recebido a bolsa de estudo, dado que ele se licenciou, é de aproximadamente 44,7%.