No âmbito de um estudo sobre a criação de um amplo espaço verde numa cidade de média dimensão, constatou-se que dos cidadãos concordavam com a medida. Foram inquiridos 10 cidadãos.
(a) Defina a função de probabilidade da variável aleatória que representa o número de cidadãos que concordam com a criação do espaço verde, em inquiridos.
(b) Calcule a probabilidade de:
i) Nenhum concordar.
ii Pelo menos 2 concordarem.
iii Entre 7 e 9 concordarem.
© Calcule o valor esperado e a variância do número de cidadãos que concordam com a criação do espaço verde.
(d) Encontre o quantil 0,2 do número de cidadãos.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que trata de probabilidade binomial. A questão nos apresenta uma situação onde 80% dos cidadãos concordam com a criação de um espaço verde em uma cidade de média dimensão. Nós inquirimos 10 cidadãos. Precisamos definir a função de probabilidade da variável aleatória que representa o número de cidadãos que concordam, e depois calcular algumas probabilidades específicas, além do valor esperado, variância e um quantil.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma distribuição binomial. Ela é usada quando temos um número fixo de tentativas independentes, cada uma com duas possibilidades de resultado: “sucesso” ou “fracasso”. No nosso caso:
  • Número de tentativas ( ): 10 cidadãos inquiridos.
  • Probabilidade de sucesso ( ): 80% ou 0,8 (probabilidade de um cidadão concordar).
  • Probabilidade de fracasso ( ): 20% ou 0,2 (probabilidade de um cidadão não concordar).
A função de probabilidade binomial é dada por:
onde é o número de combinações de elementos tomados a .

Passo 3

Letra (a)

Queremos definir a função de probabilidade da variável aleatória .
Usando a fórmula da distribuição binomial:

Passo 4

Letra (b) i) Nenhum concorda.

Aqui, . Vamos substituir na fórmula:
Calculando:

Passo 5

Letra (b) ii) Pelo menos 2 concordam.

Para “pelo menos 2”, calculamos .
Primeiro, calculamos :
Calculando:
Então:

Passo 6

Letra (b) iii) Entre 7 e 9 concordam.

Aqui, queremos .
Calculando cada termo:
Calculando:
Somando:

Passo 7

Letra © Valor esperado e variância.

Para uma distribuição binomial, o valor esperado ( ) e a variância ( ) são dados por:

Passo 8

Letra (d) Quantil 0,2.

O quantil 0,2 é o menor valor de para o qual a função de distribuição acumulada .
Vamos calcular para :
Calculando cada termo até e somando, observamos que:
Como e , o quantil 0,2 é 7.

Resposta

a) A função de probabilidade é:
b)
i)
ii)
iii)
c) Valor esperado e Variância
d) O quantil 0,2 é 7 cidadãos.

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2 10 10
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4 10 5
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(b) Prove que .
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