No âmbito de um estudo sobre a criação de um amplo espaço verde numa cidade de média dimensão, constatou-se que
dos cidadãos concordavam com a medida. Foram inquiridos 10 cidadãos.
(a) Defina a função de probabilidade da variável aleatória
que representa o número de cidadãos que concordam com a criação do espaço verde, em
inquiridos.
(b) Calcule a probabilidade de:
i) Nenhum concordar.
ii Pelo menos 2 concordarem.
iii Entre 7 e 9 concordarem.
© Calcule o valor esperado e a variância do número de cidadãos que concordam com a criação do espaço verde.
(d) Encontre o quantil 0,2 do número de cidadãos.
(a) Defina a função de probabilidade da variável aleatória
(b) Calcule a probabilidade de:
i) Nenhum concordar.
ii Pelo menos 2 concordarem.
iii Entre 7 e 9 concordarem.
© Calcule o valor esperado e a variância do número de cidadãos que concordam com a criação do espaço verde.
(d) Encontre o quantil 0,2 do número de cidadãos.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que trata de probabilidade binomial. A questão nos apresenta uma situação onde 80% dos cidadãos concordam com a criação de um espaço verde em uma cidade de média dimensão. Nós inquirimos 10 cidadãos. Precisamos definir a função de probabilidade da variável aleatória
que representa o número de cidadãos que concordam, e depois calcular algumas probabilidades específicas, além do valor esperado, variância e um quantil.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma distribuição binomial. Ela é usada quando temos um número fixo de tentativas independentes, cada uma com duas possibilidades de resultado: “sucesso” ou “fracasso”. No nosso caso:
- Número de tentativas (
): 10 cidadãos inquiridos. - Probabilidade de sucesso (
): 80% ou 0,8 (probabilidade de um cidadão concordar). - Probabilidade de fracasso (
): 20% ou 0,2 (probabilidade de um cidadão não concordar).
A função de probabilidade binomial é dada por:
onde
é o número de combinações de
elementos tomados
a
.
Passo 3
Letra (a)
Queremos definir a função de probabilidade da variável aleatória
.
Usando a fórmula da distribuição binomial:
Passo 4
Letra (b) i) Nenhum concorda.
Aqui,
. Vamos substituir na fórmula:
Calculando:
Passo 5
Letra (b) ii) Pelo menos 2 concordam.
Para “pelo menos 2”, calculamos
.
Primeiro, calculamos
:
Calculando:
Então:
Passo 6
Letra (b) iii) Entre 7 e 9 concordam.
Aqui, queremos
.
Calculando cada termo:
Calculando:
Somando:
Passo 7
Letra © Valor esperado e variância.
Para uma distribuição binomial, o valor esperado (
) e a variância (
) são dados por:
Passo 8
Letra (d) Quantil 0,2.
O quantil 0,2 é o menor valor de
para o qual a função de distribuição acumulada
.
Vamos calcular
para
:
Calculando cada termo até
e somando, observamos que:
Como
e
, o quantil 0,2 é 7.
Resposta
a) A função de probabilidade é:
b)
i)
i)
ii)
iii)
c) Valor esperado
e Variância
d) O quantil 0,2 é 7 cidadãos.