No âmbito de um estudo sobre a criação de um amplo espaço verde numa cidade de média dimensão, constatou-se que 80 % dos cidadãos concordavam com a medida. Foram inquiridos 10 cidadãos.
(a) Defina a função de probabilidade da variável aleatória X que representa o número de cidadãos que concordam com a criação do espaço verde, em n=10 inquiridos.
(b) Calcule a probabilidade de:
i) Nenhum concordar.
ii Pelo menos 2 concordarem.
iii Entre 7 e 9 concordarem.
© Calcule o valor esperado e a variância do número de cidadãos que concordam com a criação do espaço verde.
(d) Encontre o quantil 0,2 do número de cidadãos.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que trata de probabilidade binomial. A questão nos apresenta uma situação onde 80% dos cidadãos concordam com a criação de um espaço verde em uma cidade de média dimensão. Nós inquirimos 10 cidadãos. Precisamos definir a função de probabilidade da variável aleatória que representa o número de cidadãos que concordam, e depois calcular algumas probabilidades específicas, além do valor esperado, variância e um quantil.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma distribuição binomial. Ela é usada quando temos um número fixo de tentativas independentes, cada uma com duas possibilidades de resultado: “sucesso” ou “fracasso”. No nosso caso:
  • Número de tentativas ( P(X = k) = binomnk p^k q^n - k ): 10 cidadãos inquiridos.
  • Probabilidade de sucesso ( ): 80% ou 0,8 (probabilidade de um cidadão concordar).
  • Probabilidade de fracasso ( ): 20% ou 0,2 (probabilidade de um cidadão não concordar).
A função de probabilidade binomial é dada por:
onde é o número de combinações de elementos tomados a .

Passo 3

Letra (a)

Queremos definir a função de probabilidade da variável aleatória P(X = k) = binom10k (0,8)^k (0,2)^10 - k .
Usando a fórmula da distribuição binomial:

Passo 4

Letra (b) i) Nenhum concorda.

Aqui, P(X = 0) = binom100 (0,8)^0 (0,2)^10 = 1 times 1 times (0,2)^10 . Vamos substituir na fórmula:
P(X = 0) = (0,2)^10 approx 0,0000001024
Calculando:

Passo 5

Letra (b) ii) Pelo menos 2 concordam.

Para “pelo menos 2”, calculamos P(X = 1) = binom101 (0,8)^1 (0,2)^9 = 10 times 0,8 times (0,2)^9 .
Primeiro, calculamos P(X = 1) approx 10 times 0,8 times 0,000000512 = 0,000004096 :
P(X >= 2) = 1 - [0,0000001024 + 0,000004096] approx 0,9999958016
Calculando:
Então:

Passo 6

Letra (b) iii) Entre 7 e 9 concordam.

Aqui, queremos P(X = 7) = binom107 (0,8)^7 (0,2)^3 .
Calculando cada termo:
P(X = 8) = binom108 (0,8)^8 (0,2)^2
P(X = 9) = binom109 (0,8)^9 (0,2)^1
P(X = 7) = 120 times 0,2097152 times 0,008 = 0,201326592
Calculando:
P(X = 8) = 45 times 0,16777216 times 0,04 = 0,301989888
P(X = 9) = 10 times 0,134217728 times 0,2 = 0,268435456
P(7 <= X <= 9) = 0,201326592 + 0,301989888 + 0,268435456 approx 0,771751936
Somando:

Passo 7

Letra © Valor esperado e variância.

Para uma distribuição binomial, o valor esperado ( E(X) = n times p = 10 times 0,8 = 8 ) e a variância ( Var(X) = n times p times q = 10 times 0,8 times 0,2 = 1,6 ) são dados por:

Passo 8

Letra (d) Quantil 0,2.

O quantil 0,2 é o menor valor de P(X <= 6) = sumi=0^6 P(X = i) para o qual a função de distribuição acumulada P(X <= 6) approx 0,1792 .
Vamos calcular para :
Calculando cada termo até e somando, observamos que:
Como e , o quantil 0,2 é 7.

Resposta

a) A função de probabilidade é:
P(X = k) = binom10k (0,8)^k (0,2)^10 - k
b)
i)
ii)
iii)
c) Valor esperado e Variância
d) O quantil 0,2 é 7 cidadãos.

Exercícios relacionados