No âmbito de um estudo sobre a criação de um amplo espaço verde numa cidade de média dimensão, constatou-se que
dos cidadãos concordavam com a medida. Foram inquiridos 10 cidadãos.
(a) Defina a função de probabilidade da variável aleatória
que representa o número de cidadãos que concordam com a criação do espaço verde, em
inquiridos.
(b) Calcule a probabilidade de:
i) Nenhum concordar.
ii Pelo menos 2 concordarem.
iii Entre 7 e 9 concordarem.
© Calcule o valor esperado e a variância do número de cidadãos que concordam com a criação do espaço verde.
(d) Encontre o quantil 0,2 do número de cidadãos.
(a) Defina a função de probabilidade da variável aleatória
(b) Calcule a probabilidade de:
i) Nenhum concordar.
ii Pelo menos 2 concordarem.
iii Entre 7 e 9 concordarem.
© Calcule o valor esperado e a variância do número de cidadãos que concordam com a criação do espaço verde.
(d) Encontre o quantil 0,2 do número de cidadãos.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que trata de probabilidade binomial. A questão nos apresenta uma situação onde 80% dos cidadãos concordam com a criação de um espaço verde em uma cidade de média dimensão. Nós inquirimos 10 cidadãos. Precisamos definir a função de probabilidade da variável aleatória
que representa o número de cidadãos que concordam, e depois calcular algumas probabilidades específicas, além do valor esperado, variância e um quantil.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma distribuição binomial. Ela é usada quando temos um número fixo de tentativas independentes, cada uma com duas possibilidades de resultado: “sucesso” ou “fracasso”. No nosso caso:
- Número de tentativas (
): 10 cidadãos inquiridos. - Probabilidade de sucesso (
): 80% ou 0,8 (probabilidade de um cidadão concordar). - Probabilidade de fracasso (
): 20% ou 0,2 (probabilidade de um cidadão não concordar).
A função de probabilidade binomial é dada por:
onde
é o número de combinações de
elementos tomados
a
.
Passo 3
Letra (a)
Queremos definir a função de probabilidade da variável aleatória
.
Usando a fórmula da distribuição binomial:
Passo 4
Letra (b) i) Nenhum concorda.
Aqui,
. Vamos substituir na fórmula:
Calculando:
Passo 5
Letra (b) ii) Pelo menos 2 concordam.
Para “pelo menos 2”, calculamos
.
Primeiro, calculamos
:
Calculando:
Então:
Passo 6
Letra (b) iii) Entre 7 e 9 concordam.
Aqui, queremos
.
Calculando cada termo:
Calculando:
Somando:
Passo 7
Letra © Valor esperado e variância.
Para uma distribuição binomial, o valor esperado (
) e a variância (
) são dados por:
Passo 8
Letra (d) Quantil 0,2.
O quantil 0,2 é o menor valor de
para o qual a função de distribuição acumulada
.
Vamos calcular
para
:
Calculando cada termo até
e somando, observamos que:
Como
e
, o quantil 0,2 é 7.
Resposta
a) A função de probabilidade é:
b)
i)
i)
ii)
iii)
c) Valor esperado
e Variância
d) O quantil 0,2 é 7 cidadãos.
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Suponha que uma gaiola contém 08 camundongos, quatro de cada sexo. Considere agora que é retirado ao acaso um camundongo de cada vez para ser submetido a um teste. Pede-se: Qual é a probabilidade de retirar uma fêmea duas vezes?
Numa comunidade em que apenas dez casais trabalham, fez-se um levantamento no qual foram obtidos os seguintes valores para os rendimentos anuais:
Casal | Rendimento do Homem
|
Rendimento da Mulher
|
---|---|---|
1 | 10 | 5 |
2 | 10 | 10 |
3 | 5 | 5 |
4 | 10 | 5 |
5 | 15 | 5 |
6 | 10 | 10 |
7 | 5 | 10 |
8 | 15 | 10 |
9 | 10 | 10 |
10 | 5 | 10 |
Um casal é escolhido ao acaso entre os dez. Seja
o rendimento do homem e
o da mulher.
(a) Construa a distribuição de probabilidade conjunta de e
.
(b) Determine as distribuições marginais de e
.
© e
são v.a. independentes? Justifique.
(d) Calcule as médias e variâncias de e
e a covariância entre elas.
(e) Considere a v.a. igual à soma dos rendimentos de cada homem e mulher. Calcule a média e variância de
.
(f) Supondo que todos os casais tenham a renda de um ano disponível, e que se oferecerá ao casal escolhido a possibilidade de comprar uma casa pelo preço de 20, qual a probabilidade de que o casal escolhido possa efetuar a compra?
(a) Construa a distribuição de probabilidade conjunta de
(b) Determine as distribuições marginais de
©
(d) Calcule as médias e variâncias de
(e) Considere a v.a.
(f) Supondo que todos os casais tenham a renda de um ano disponível, e que se oferecerá ao casal escolhido a possibilidade de comprar uma casa pelo preço de 20, qual a probabilidade de que o casal escolhido possa efetuar a compra?
As v.a.
e
têm distribuição conjunta dada por
(a) Faça um gráfico do domínio de variação de
e
.
(b) Prove que .
© Encontre as f.d.p marginais de e
.
(d) Encontre .
(b) Prove que
© Encontre as f.d.p marginais de
(d) Encontre
Sabendo que o DHDA ocorre cerca de 8 vezes mais em crianças do sexo masculino, e considerando que
das crianças em idade escolar apresentam este distúrbio. Pede-se: Qual a prevalência do DHDA no sexo feminino?