As v.a. e têm distribuição conjunta dada por
(a) Faça um gráfico do domínio de variação de e .
(b) Prove que .
© Encontre as f.d.p marginais de e .
(d) Encontre .

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício sobre as variáveis aleatórias e com a distribuição conjunta dada por:
A gente vai precisar entender de funções de densidade conjunta, integrais duplas para verificar se é realmente uma distribuição de probabilidade válida, funções de densidade marginais, e calcular probabilidades específicas. Vamos resolver cada parte passo a passo!

Passo 2

Parte (a): Fazer um gráfico do domínio de e .
Primeiro, vamos entender quais são os valores que e podem assumir. Pelo enunciado:
Isso significa que para cada valor de entre 0 e 2, varia de até . Vamos desenhar isso no plano .

Passo 3

Para desenhar o domínio:
  1. No eixo , marque do 0 ao 2.
  2. Para cada , desenhe duas linhas: e .
  3. A região válida está entre essas duas linhas, de a .
Isso vai formar um triângulo simétrico em torno do eixo , com vértices em , e .

Passo 4

Parte (b): Provar que .
Para provar que é uma função de densidade válida, precisamos que a integral dupla sobre todo o espaço seja igual a 1.
Vamos calcular:

Passo 5

Primeiro, resolvemos a integral interna em relação a :
Vamos integrar em relação a :
Avaliado de a :
Então:

Passo 6

Agora, integramos em relação a :
Então, a integral dupla é igual a 1, confirmando que é uma função de densidade conjunta válida.

Passo 7

Parte ©: Encontrar as funções de densidade marginais de e .
As densidades marginais são encontradas integrando a função conjunta em relação à outra variável.
Para :
á
Para :
Precisamos integrar em relação a . Mas primeiro, observamos os limites:
Para um dado , varia de a 2.
Então:

Passo 8

Vamos calcular :
Avaliado nos limites:
Simplificando:

Passo 9

Parte (d): Encontrar .
Queremos calcular a probabilidade de ser menor ou igual a 1. Para isso, usamos a função de densidade marginal de :

Resposta

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