Beleza, vamos resolver o exercício sobre as variáveis aleatórias e com a distribuição conjunta dada por:
A gente vai precisar entender de funções de densidade conjunta, integrais duplas para verificar se é realmente uma distribuição de probabilidade válida, funções de densidade marginais, e calcular probabilidades específicas. Vamos resolver cada parte passo a passo!
Passo 2
Parte (a): Fazer um gráfico do domínio de e .
Primeiro, vamos entender quais são os valores que e podem assumir. Pelo enunciado:
Isso significa que para cada valor de entre 0 e 2, varia de até . Vamos desenhar isso no plano .
Passo 3
Para desenhar o domínio:
No eixo , marque do 0 ao 2.
Para cada , desenhe duas linhas: e .
A região válida está entre essas duas linhas, de a .
Isso vai formar um triângulo simétrico em torno do eixo , com vértices em , e .
Passo 4
Parte (b): Provar que .
Para provar que é uma função de densidade válida, precisamos que a integral dupla sobre todo o espaço seja igual a 1.
Vamos calcular:
Passo 5
Primeiro, resolvemos a integral interna em relação a :
Vamos integrar em relação a :
Avaliado de a :
Então:
Passo 6
Agora, integramos em relação a :
Então, a integral dupla é igual a 1, confirmando que é uma função de densidade conjunta válida.