As v.a. X e Y têm distribuição conjunta dada por
f(x, y)=18 x(x-y), 0 <= x <= 2, -x <= y <= x
(a) Faça um gráfico do domínio de variação de x e y.
(b) Prove que integral-infty^infty f(x, y) d x, d y=1.
© Encontre as f.d.p marginais de X e Y.
(d) Encontre P(X <= 1).

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício sobre as variáveis aleatórias f(x, y) = 18 x(x - y), 0 <= x <= 2, -x <= y <= x e com a distribuição conjunta dada por:
A gente vai precisar entender de funções de densidade conjunta, integrais duplas para verificar se é realmente uma distribuição de probabilidade válida, funções de densidade marginais, e calcular probabilidades específicas. Vamos resolver cada parte passo a passo!

Passo 2

Parte (a): Fazer um gráfico do domínio de e .
Primeiro, vamos entender quais são os valores que e podem assumir. Pelo enunciado:
Isso significa que para cada valor de entre 0 e 2, varia de até . Vamos desenhar isso no plano .

Passo 3

Para desenhar o domínio:
  1. No eixo , marque do 0 ao 2.
  2. Para cada , desenhe duas linhas: e .
  3. A região válida está entre essas duas linhas, de a .
Isso vai formar um triângulo simétrico em torno do eixo , com vértices em , e .

Passo 4

Parte (b): Provar que integral0^2 integral-x^x 18 x(x - y) , dy , dx .
Para provar que é uma função de densidade válida, precisamos que a integral dupla sobre todo o espaço seja igual a 1.
Vamos calcular:

Passo 5

Primeiro, resolvemos a integral interna em relação a integral-x^x 18 x(x - y) , dy = 18 x integral-x^x (x - y) , dy :
integral (x - y) , dy = xy - 12 y^2
Vamos integrar [ x(x) - 12 x^2 ] - [ x(-x) - 12 (-x)^2 ] = ( x^2 - 12 x^2 ) - ( -x^2 - 12 x^2 ) = 12x^2 + 32x^2 = 2x^2 em relação a 18x cdot 2x^2 = 14x^3 :
Avaliado de a :
Então:

Passo 6

Agora, integramos em relação a integral0^2 14 x^3 , dx = 14 cdot x^44 |0^2 = 116 cdot (16 - 0) = 1 :
Então, a integral dupla é igual a 1, confirmando que é uma função de densidade conjunta válida.

Passo 7

Parte ©: Encontrar as funções de densidade marginais de fX(x) = integral-x^x f(x, y) , dy = integral-x^x 18 x(x - y) , dy = 14 x^3 (já resolvido na parte b) e fY(y) = integral|y|^2 18 x(x - y) , dx .
As densidades marginais são encontradas integrando a função conjunta em relação à outra variável.
Para :
á
Para :
Precisamos integrar em relação a . Mas primeiro, observamos os limites:
Para um dado , varia de a 2.
Então:

Passo 8

Vamos calcular integral|y|^2 18 x(x - y) , dx = 18 integral|y|^2 (x^2 - xy) , dx = 18 ( x^33 - y x^22 ) ||y|^2 :
18 ( ( 83 - 2y cdot 42 ) - ( |y|^33 - y |y|^22 ) ) = 18 ( 83 - 4y - |y|^33 + y |y|^22 )
Avaliado nos limites:
fY(y) = 13 - 12y^2 para -2 <= y <= 2
Simplificando:

Passo 9

Parte (d): Encontrar P(X <= 1) = integral0^1 fX(x) , dx = integral0^1 14 x^3 , dx = 14 cdot x^44 |0^1 = 116 (1 - 0) = 116 .
Queremos calcular a probabilidade de ser menor ou igual a 1. Para isso, usamos a função de densidade marginal de :

Resposta

P(X <= 1) = 116

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