A amostra 9,8,12,7,9,6,11,6,10,9 foi extraída de uma população aproximadamente normal. Deseja-se construir um intervalo de confiança para mu com um nível de 95% de confiança.
tn-1 ; alpha / 2=t9 ; 2,5 %= pm 2,262

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma amostra de 10 números: 9,8,12,7,9,6,11,6,10,9. O objetivo aqui é construir um intervalo de confiança de 95% para a média da população, mu. Para isso, vamos usar a distribuição t de Student, já que a população é aproximadamente normal e estamos trabalhando com uma amostra pequena. Precisamos calcular a média da amostra, o desvio padrão e depois aplicar a fórmula do intervalo de confiança.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a média da amostra. A média é a soma de todos os valores dividida pelo número de elementos. Assim:
barx = 9 + 8 + 12 + 7 + 9 + 6 + 11 + 6 + 10 + 910 = 8710 = 8,7

Passo 3

Agora, vamos calcular o desvio padrão da amostra. O desvio padrão mede o quanto os valores estão espalhados em relação à média. A fórmula do desvio padrão amostral é:
s = raizsum (xi - barx)^2n - 1
Vamos calcular cada diferença ao quadrado:
(9 - 8,7)^2 &= 0,09 (8 - 8,7)^2 &= 0,49 (12 - 8,7)^2 &= 10,89 (7 - 8,7)^2 &= 2,89 (9 - 8,7)^2 &= 0,09 (6 - 8,7)^2 &= 7,29 (11 - 8,7)^2 &= 5,29 (6 - 8,7)^2 &= 7,29 (10 - 8,7)^2 &= 1,69 (9 - 8,7)^2 &= 0,09
Somando tudo:
0,09 + 0,49 + 10,89 + 2,89 + 0,09 + 7,29 + 5,29 + 7,29 + 1,69 + 0,09 = 35,10
Então:
s = raiz35,1010 - 1 = raiz35,109 approx raiz3,90 approx 1,975

Passo 4

Com a média ( barx = 8,7), o desvio padrão ( s approx 1,975) e o tamanho da amostra ( n = 10), vamos montar o intervalo de confiança usando a fórmula:
barx pm talpha/2 cdot sraizn
Sabemos que t9;2,5% = pm 2,262, então substituindo:
8,7 pm 2,262 cdot 1,975raiz10

Passo 5

Vamos calcular o erro padrão ( sraizn):
1,975raiz10 approx 1,9753,162 approx 0,625
Agora, multiplicamos pelo valor de t:
2,262 cdot 0,625 approx 1,41375

Passo 6

Finalmente, construímos o intervalo de confiança:
8,7 - 1,41375 approx 7,286 8,7 + 1,41375 approx 10,11375
Arredondando para duas casas decimais:
[7,29, , 10,11]

Resposta

O intervalo de confiança de 95% para a média mu é aproximadamente [7,29; , 10,11].

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