Para uma amostra de 25 mulheres entre as idades de 30 a 74 anos que participaram de um Levantamento de Saúde Nacional, a distribuição de níveis de hemoglobina tem média
e desvio padrão s =
.
a) Encontre um intervalo de confiança para a distribuição de níveis de hemoglobina para mulheres nesse faixa etária adotando um grau de confiança de
.
b) Quão grande precisam ser as amostras para que
de suas médias se encontrem a
da média
da população?
a) Encontre um intervalo de confiança para a distribuição de níveis de hemoglobina para mulheres nesse faixa etária adotando um grau de confiança de
b) Quão grande precisam ser as amostras para que
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre níveis de hemoglobina em mulheres com idades entre 30 e 74 anos. A gente tem uma amostra de 25 mulheres onde a média é
g/100ml e o desvio padrão é
g/100ml. Vamos usar estatística para resolver as duas partes do exercício: uma é achar um intervalo de confiança, e a outra é descobrir o tamanho da amostra necessário para uma certa precisão.
Passo 2
Primeiro, vamos para a parte a) onde precisamos encontrar um intervalo de confiança de 90%. Isso significa que queremos ter 90% de certeza de que o verdadeiro valor da média da população está dentro desse intervalo.
Passo 3
Como a amostra é de tamanho 25 (menor que 30) e não sabemos o desvio padrão da população, vamos usar a distribuição t de Student. A fórmula para o intervalo de confiança é:
Aqui,
é a média da amostra,
é o valor crítico da distribuição t,
é o desvio padrão da amostra e
é o tamanho da amostra.
Passo 4
Vamos calcular o erro padrão da média, que é
:
Passo 5
Agora, precisamos encontrar o valor de
para um nível de confiança de 90% e 24 graus de liberdade (porque
). Consultando uma tabela t ou usando uma calculadora, encontramos que
.
Passo 6
Com tudo isso, montamos o intervalo de confiança:
Calculando a margem de erro:
Então, o intervalo fica:
Passo 7
Agora, para a parte b), queremos saber o tamanho da amostra necessário para que 95% das médias amostrais estejam dentro de
g/100ml da média da população. Aqui, vamos usar a distribuição normal (z), já que estamos buscando uma precisão específica.
Passo 8
A fórmula para a margem de erro é:
Queremos resolver para
, então rearranjamos a equação:
Passo 9
Para um nível de confiança de 95%, o valor de
. Substituindo os valores:
Calculando dentro do parênteses:
Então:
Passo 10
Como não podemos ter uma fração de pessoa na amostra, arredondamos para cima:
Resposta
a) O intervalo de confiança de 90% para os níveis de hemoglobina é entre 12,92 g/100ml e 13,68 g/100ml.
b) Para que 95% das médias amostrais estejam a
g/100ml da média da população, a amostra precisa ter pelo menos 121 mulheres.