Para uma amostra de 25 mulheres entre as idades de 30 a 74 anos que participaram de um Levantamento de Saúde Nacional, a distribuição de níveis de hemoglobina tem média mu=13,3 g / 100 ml e desvio padrão s = 1,12 g / 100 ml.
a) Encontre um intervalo de confiança para a distribuição de níveis de hemoglobina para mulheres nesse faixa etária adotando um grau de confiança de 90 %.
b) Quão grande precisam ser as amostras para que 95 % de suas médias se encontrem a pm 0,2 g / 100 ml da média mu da população?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre níveis de hemoglobina em mulheres com idades entre 30 e 74 anos. A gente tem uma amostra de 25 mulheres onde a média é mu = 13,3 g/100ml e o desvio padrão é s = 1,12 g/100ml. Vamos usar estatística para resolver as duas partes do exercício: uma é achar um intervalo de confiança, e a outra é descobrir o tamanho da amostra necessário para uma certa precisão.

Passo 2

Primeiro, vamos para a parte a) onde precisamos encontrar um intervalo de confiança de 90%. Isso significa que queremos ter 90% de certeza de que o verdadeiro valor da média da população está dentro desse intervalo.

Passo 3

Como a amostra é de tamanho 25 (menor que 30) e não sabemos o desvio padrão da população, vamos usar a distribuição t de Student. A fórmula para o intervalo de confiança é:
mu pm talpha/2 times sraizn
Aqui, mu é a média da amostra, talpha/2 é o valor crítico da distribuição t, s é o desvio padrão da amostra e n é o tamanho da amostra.

Passo 4

Vamos calcular o erro padrão da média, que é sraizn:
Erro Padrão = 1,12raiz25 = 1,125 = 0,224 ã

Passo 5

Agora, precisamos encontrar o valor de t para um nível de confiança de 90% e 24 graus de liberdade (porque df = n - 1 = 25 - 1 = 24). Consultando uma tabela t ou usando uma calculadora, encontramos que t0,05 approx 1,711.

Passo 6

Com tudo isso, montamos o intervalo de confiança:
13,3 pm 1,711 times 0,224
Calculando a margem de erro:
1,711 times 0,224 approx 0,383
Então, o intervalo fica:
13,3 - 0,383 = 12,917
13,3 + 0,383 = 13,683

Passo 7

Agora, para a parte b), queremos saber o tamanho da amostra necessário para que 95% das médias amostrais estejam dentro de pm 0,2 g/100ml da média da população. Aqui, vamos usar a distribuição normal (z), já que estamos buscando uma precisão específica.

Passo 8

A fórmula para a margem de erro é:
E = zalpha/2 times sraizn
Queremos resolver para n, então rearranjamos a equação:
n = ( zalpha/2 times sE )^2

Passo 9

Para um nível de confiança de 95%, o valor de z0,025 approx 1,96. Substituindo os valores:
n = ( 1,96 times 1,120,2 )^2
Calculando dentro do parênteses:
1,96 times 1,120,2 = 2,19520,2 = 10,976
Então:
n = (10,976)^2 approx 120,48

Passo 10

Como não podemos ter uma fração de pessoa na amostra, arredondamos para cima:
n = 121

Resposta

a) O intervalo de confiança de 90% para os níveis de hemoglobina é entre 12,92 g/100ml e 13,68 g/100ml.
b) Para que 95% das médias amostrais estejam a pm 0,2 g/100ml da média da população, a amostra precisa ter pelo menos 121 mulheres.

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