Para uma amostra de 25 mulheres entre as idades de 30 a 74 anos que participaram de um Levantamento de Saúde Nacional, a distribuição de níveis de hemoglobina tem média e desvio padrão s = .
a) Encontre um intervalo de confiança para a distribuição de níveis de hemoglobina para mulheres nesse faixa etária adotando um grau de confiança de .
b) Quão grande precisam ser as amostras para que de suas médias se encontrem a da média da população?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre níveis de hemoglobina em mulheres com idades entre 30 e 74 anos. A gente tem uma amostra de 25 mulheres onde a média é g/100ml e o desvio padrão é g/100ml. Vamos usar estatística para resolver as duas partes do exercício: uma é achar um intervalo de confiança, e a outra é descobrir o tamanho da amostra necessário para uma certa precisão.

Passo 2

Primeiro, vamos para a parte a) onde precisamos encontrar um intervalo de confiança de 90%. Isso significa que queremos ter 90% de certeza de que o verdadeiro valor da média da população está dentro desse intervalo.

Passo 3

Como a amostra é de tamanho 25 (menor que 30) e não sabemos o desvio padrão da população, vamos usar a distribuição t de Student. A fórmula para o intervalo de confiança é:
Aqui, é a média da amostra, é o valor crítico da distribuição t, é o desvio padrão da amostra e é o tamanho da amostra.

Passo 4

Vamos calcular o erro padrão da média, que é :
ã

Passo 5

Agora, precisamos encontrar o valor de para um nível de confiança de 90% e 24 graus de liberdade (porque ). Consultando uma tabela t ou usando uma calculadora, encontramos que .

Passo 6

Com tudo isso, montamos o intervalo de confiança:
Calculando a margem de erro:
Então, o intervalo fica:

Passo 7

Agora, para a parte b), queremos saber o tamanho da amostra necessário para que 95% das médias amostrais estejam dentro de g/100ml da média da população. Aqui, vamos usar a distribuição normal (z), já que estamos buscando uma precisão específica.

Passo 8

A fórmula para a margem de erro é:
Queremos resolver para , então rearranjamos a equação:

Passo 9

Para um nível de confiança de 95%, o valor de . Substituindo os valores:
Calculando dentro do parênteses:
Então:

Passo 10

Como não podemos ter uma fração de pessoa na amostra, arredondamos para cima:

Resposta

a) O intervalo de confiança de 90% para os níveis de hemoglobina é entre 12,92 g/100ml e 13,68 g/100ml.
b) Para que 95% das médias amostrais estejam a g/100ml da média da população, a amostra precisa ter pelo menos 121 mulheres.

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