Em uma amostra de 500 famílias da cidade A , constatou-se que 298 haviam comprado, durante os últimos 30 dias, o refrigerante M em sua nova versão incolor. Na cidade B, esse número foi de 147 em 300 famílias entrevistadas. Na cidade A , foi feita uma campanha publicitária através da rádio local, e não na cidade B .
(a) Os resultados trazem evidências de que as campanhas locais aumentam as vendas? Use alpha=5 %.
(b) Determine o intervalo de confiança para a diferença entre as proporções com coeficiente de confiança de 95 %

Passo 1

Beleza, vamos entender o que está acontecendo aqui. Temos duas cidades, A e B. Na cidade A, 298 de 500 famílias compraram o refrigerante novo após uma campanha de rádio. Já na cidade B, sem campanha, 147 de 300 famílias compraram o mesmo refrigerante. Queremos saber se a campanha de rádio realmente ajudou a aumentar as vendas. Para isso, vamos usar Estatística, mais especificamente testes de hipótese para comparação de proporções.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as proporções de famílias que compraram o refrigerante em cada cidade.
  • Cidade A: 298 de 500 famílias compraram.
    pA = 298500 = 0,596
  • Cidade B: 147 de 300 famílias compraram.
    pB = 147300 = 0,49

Passo 3

Agora, queremos saber se essa diferença nas proporções ( pA - pB) é estatisticamente significativa, ou seja, se não é apenas por acaso. Para isso, vamos formular as hipóteses:
  • Hipótese Nula ( H0): As proporções são iguais, não há diferença devido à campanha.
    H0: pA - pB = 0
  • Hipótese Alternativa ( H1): A proporção na cidade A é maior que na cidade B, indicando que a campanha aumentou as vendas.
    H1: pA - pB > 0

Passo 4

Vamos calcular a proporção conjunta, que é necessária para encontrar o erro padrão da diferença das proporções. Primeiro, somamos os “sucessos” e as “tentativas” das duas cidades:
xA + xB = 298 + 147 = 445
nA + nB = 500 + 300 = 800
p = 445800 = 0,55625

Passo 5

Com a proporção conjunta ( p) calculada, podemos encontrar o erro padrão ( SE) da diferença das proporções:
SE = raiz p(1 - p) ( 1nA + 1nB ) = raiz 0,55625 times 0,44375 ( 1500 + 1300 ) approx 0,0379

Passo 6

Agora, calculamos o valor do teste Z, que nos diz quantos desvios padrão a diferença observada está distante da hipótese nula:
Z = (pA - pB) - 0SE = 0,596 - 0,490,0379 approx 2,81

Passo 7

Consultando a tabela Z ou usando uma calculadora, encontramos o p-valor correspondente a Z = 2,81. Para um teste unilateral (queremos saber se A é maior que B), o p-valor é aproximadamente 0,0025.

Passo 8

Comparamos o p-valor com o nível de significância alpha = 0,05:
0,0025 < 0,05
Como o p-valor é menor que alpha, rejeitamos a hipótese nula.

Passo 9

Agora, vamos para a parte (b). Queremos determinar o intervalo de confiança de 95 % para a diferença entre as proporções (pA - pB).

Passo 10

Primeiro, calculamos a diferença das proporções observadas:
pA - pB = 0,596 - 0,49 = 0,106

Passo 11

Calculamos o erro padrão da diferença das proporções, mas dessa vez usando as proporções individuais:
SE = raiz pA (1 - pA)nA + pB (1 - pB)nB = raiz 0,596 times 0,404500 + 0,49 times 0,51300 approx 0,0373

Passo 12

Para um intervalo de confiança de 95 %, usamos o valor crítico Z = 1,96.
IC = (pA - pB) pm Z times SE = 0,106 pm 1,96 times 0,0373
IC = 0,106 pm 0,0731
IC = [0,0329, 0,1791]

Resposta

(b) O intervalo de confiança de 95 % para a diferença entre as proporções é de aproximadamente 3,3 % a 17,9 %.

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