Em uma amostra de 500 famílias da cidade A , constatou-se que 298 haviam comprado, durante os últimos 30 dias, o refrigerante M em sua nova versão incolor. Na cidade B, esse número foi de 147 em 300 famílias entrevistadas. Na cidade A , foi feita uma campanha publicitária através da rádio local, e não na cidade B .
(a) Os resultados trazem evidências de que as campanhas locais aumentam as vendas? Use
.
(b) Determine o intervalo de confiança para a diferença entre as proporções com coeficiente de confiança de
(a) Os resultados trazem evidências de que as campanhas locais aumentam as vendas? Use
(b) Determine o intervalo de confiança para a diferença entre as proporções com coeficiente de confiança de
Passo 1
Beleza, vamos entender o que está acontecendo aqui. Temos duas cidades, A e B. Na cidade A, 298 de 500 famílias compraram o refrigerante novo após uma campanha de rádio. Já na cidade B, sem campanha, 147 de 300 famílias compraram o mesmo refrigerante. Queremos saber se a campanha de rádio realmente ajudou a aumentar as vendas. Para isso, vamos usar Estatística, mais especificamente testes de hipótese para comparação de proporções.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as proporções de famílias que compraram o refrigerante em cada cidade.
-
Cidade A: 298 de 500 famílias compraram.
-
Cidade B: 147 de 300 famílias compraram.
Passo 3
Agora, queremos saber se essa diferença nas proporções (
) é estatisticamente significativa, ou seja, se não é apenas por acaso. Para isso, vamos formular as hipóteses:
-
Hipótese Nula (
): As proporções são iguais, não há diferença devido à campanha. -
Hipótese Alternativa (
): A proporção na cidade A é maior que na cidade B, indicando que a campanha aumentou as vendas.
Passo 4
Vamos calcular a proporção conjunta, que é necessária para encontrar o erro padrão da diferença das proporções. Primeiro, somamos os “sucessos” e as “tentativas” das duas cidades:
Passo 5
Com a proporção conjunta (
) calculada, podemos encontrar o erro padrão (
) da diferença das proporções:
Passo 6
Agora, calculamos o valor do teste Z, que nos diz quantos desvios padrão a diferença observada está distante da hipótese nula:
Passo 7
Consultando a tabela Z ou usando uma calculadora, encontramos o p-valor correspondente a
. Para um teste unilateral (queremos saber se A é maior que B), o p-valor é aproximadamente 0,0025.
Passo 8
Comparamos o p-valor com o nível de significância
:
Como o p-valor é menor que
, rejeitamos a hipótese nula.
Passo 9
Agora, vamos para a parte (b). Queremos determinar o intervalo de confiança de 95 % para a diferença entre as proporções
.
Passo 10
Primeiro, calculamos a diferença das proporções observadas:
Passo 11
Calculamos o erro padrão da diferença das proporções, mas dessa vez usando as proporções individuais:
Passo 12
Para um intervalo de confiança de 95 %, usamos o valor crítico
.
Resposta
(b) O intervalo de confiança de 95 % para a diferença entre as proporções é de aproximadamente 3,3 % a 17,9 %.