Quantas palavras diferentes você pode obter rearranjando as letras da palavra MATEMÁTICA (A neq AA)?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão é sobre quantas palavras diferentes dá pra formar rearranjando as letras da palavra “MATEMÁTICA”. A gente vai usar combinatória, mais precisamente o conceito de permutação com repetição. Primeiro, precisamos ver quantas letras temos e quais se repetem.

Passo 2

Primeiro, conta quantas letras tem na palavra “MATEMÁTICA”. Vamos lá:
M, A, T, E, M, A, T, I, C, A
Totalizando 10 letras. Agora, vamos identificar quais letras se repetem:
  • M aparece 2 vezes
  • A aparece 3 vezes
  • T aparece 2 vezes
As letras E, I e C aparecem apenas uma vez.

Passo 3

Quando temos letras que se repetem, não podemos contar todas as permutações possíveis como se fossem todas diferentes. Por isso, a fórmula para calcular o número de arranjos diferentes é:
n!n1! times n2! times dots times nk!
Onde:
  • $ n $ é o total de letras
  • $ n_1, n_2, \dots, n_k $ são as quantidades de cada letra que se repete

Passo 4

Aplicando os valores na fórmula:
10!3! times 2! times 2!
Vamos calcular:
  • $ 10! = 3.628.800 $
  • $ 3! = 6 $
  • $ 2! = 2 $
Agora, substituindo:
10! = 3.628.800

Resposta

São 151.200 palavras diferentes que podem ser formadas rearranjando as letras de “MATEMÁTICA”.

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