Uma amostra aleatória de 35 bulbos de uma lâmpada de 75 W tem uma vida média de 1014 horas com um desvio padrão de 25 horas. Dessa forma, encontre um intervalo de confiança de 93 % para a vida média. Interprete o intervalo obtido. Resposta: [1006,343; 1021,657]

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa resolver aqui é encontrar um intervalo de confiança de 93% para a vida média das lâmpadas de 75 W. Para isso, vamos usar estatística inferencial, mais especificamente o intervalo de confiança para a média. O que vamos precisar são os dados da amostra (tamanho, média, desvio padrão) e entender um pouco sobre a distribuição t de Student, já que não conhecemos o desvio padrão da população.

Passo 2

Primeiro, vamos recapitular os dados que temos:
  • Tamanho da amostra (n): 35 bulbos
  • Média da amostra (x̄): 1014 horas
  • Desvio padrão da amostra (s): 25 horas
  • Nível de confiança: 93%

Passo 3

Como não sabemos o desvio padrão da população e temos uma amostra com tamanho maior que 30, geralmente podemos usar a distribuição t de Student para calcular o intervalo de confiança. A distribuição t é útil quando trabalhamos com amostras pequenas ou quando o desvio padrão da população é desconhecido.

Passo 4

Vamos encontrar o valor crítico t correspondente ao nível de confiança de 93%. Como o nível de confiança é 93%, o nível de signific��ncia (α) é 7% ou 0,07. Como estamos construindo um intervalo de confiança bilateral, dividimos α por 2: 0,07 / 2 = 0,035.
Usando uma tabela t ou uma calculadora estatística, encontramos o valor t para 34 graus de liberdade (n - 1 = 35 - 1 = 34) e uma área de 0,035 em cada cauda:
t0,035, 34 approx 1,812

Passo 5

Agora, vamos calcular o erro padrão da média (EPM), que é dado por:
EPM = sraizn = 25raiz35 approx 255,916 approx 4,23

Passo 6

Com o valor crítico t e o erro padrão, podemos calcular a margem de erro (ME):
ME = t times EPM = 1,812 times 4,23 approx 7,67

Passo 7

Finalmente, construímos o intervalo de confiança subtraindo e adicionando a margem de erro à média da amostra:
Intervalo = ( x̄ - ME, , x̄ + ME ) = (1014 - 7,67, , 1014 + 7,67) approx (1006,33; 1021,67)

Resposta

O intervalo de confiança de 93% para a vida média das lâmpadas é aproximadamente [1006,33; 1021,67] horas. Isso significa que estamos 93% confiantes de que a verdadeira vida média das lâmpadas de 75 W está entre 1006,33 e 1021,67 horas.

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