Uma amostra aleatória de 35 bulbos de uma lâmpada de
tem uma vida média de 1014 horas com um desvio padrão de 25 horas. Dessa forma, encontre um intervalo de confiança de
para a vida média. Interprete o intervalo obtido. Resposta: [1006,343; 1021,657]
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente precisa resolver aqui é encontrar um intervalo de confiança de 93% para a vida média das lâmpadas de 75 W. Para isso, vamos usar estatística inferencial, mais especificamente o intervalo de confiança para a média. O que vamos precisar são os dados da amostra (tamanho, média, desvio padrão) e entender um pouco sobre a distribuição t de Student, já que não conhecemos o desvio padrão da população.
Passo 2
Primeiro, vamos recapitular os dados que temos:
- Tamanho da amostra (n): 35 bulbos
- Média da amostra (x̄): 1014 horas
- Desvio padrão da amostra (s): 25 horas
- Nível de confiança: 93%
Passo 3
Como não sabemos o desvio padrão da população e temos uma amostra com tamanho maior que 30, geralmente podemos usar a distribuição t de Student para calcular o intervalo de confiança. A distribuição t é útil quando trabalhamos com amostras pequenas ou quando o desvio padrão da população é desconhecido.
Passo 4
Vamos encontrar o valor crítico t correspondente ao nível de confiança de 93%. Como o nível de confiança é 93%, o nível de signific��ncia (α) é 7% ou 0,07. Como estamos construindo um intervalo de confiança bilateral, dividimos α por 2: 0,07 / 2 = 0,035.
Usando uma tabela t ou uma calculadora estatística, encontramos o valor t para 34 graus de liberdade (n - 1 = 35 - 1 = 34) e uma área de 0,035 em cada cauda:
Passo 5
Agora, vamos calcular o erro padrão da média (EPM), que é dado por:
Passo 6
Com o valor crítico t e o erro padrão, podemos calcular a margem de erro (ME):
Passo 7
Finalmente, construímos o intervalo de confiança subtraindo e adicionando a margem de erro à média da amostra:
Resposta
O intervalo de confiança de 93% para a vida média das lâmpadas é aproximadamente [1006,33; 1021,67] horas. Isso significa que estamos 93% confiantes de que a verdadeira vida média das lâmpadas de 75 W está entre 1006,33 e 1021,67 horas.