O brilho de um tubo de imagem de televisão pode ser avaliado medindo-se a quantidade de corrente requerida para atingir um determinado nível de brilho. Uma amostra de 10 tubos resultou em uma média de 317,2 microàmperes e desvio padrão de 15,7 microàmperes. Supondo que o engenheiro de projeto sustente que esse tubo necessitará de no mínimo 300 microàmperes de corrente para produzir o nível adequado de brilho, e que a quantidade de corrente pode ser representada por uma função densidade de probabilidade da distribuição normal, é possível con- firmar essa suposição? Considere um nível de significância de 5 %. (Resposta: Rejeitar H0 )

Passo 1

Vamos resolver um exercício de Teste de Hipóteses utilizando a Distribuição Normal. No problema, queremos verificar se um tubo de televisão realmente necessita de pelo menos 300 microamperes (μA) de corrente para produzir o nível adequado de brilho. Para isso, vamos analisar uma amostra de 10 tubos, cuja corrente média é de 317,2 μA e o desvio padrão é de 15,7 μA.

Passo 2

Primeiro, precisamos formular as hipóteses que vamos testar. A hipótese nula (H₀) é a afirmação que estamos testando, e a hipótese alternativa (H₁) é o que queremos provar.
  • H₀: A corrente média necessária é de pelo menos 300 μA. Matemáticamente, H₀: μ ≥ 300 μA.
  • H₁: A corrente média necessária é menor que 300 μA. Matemáticamente, H₁: μ < 300 μA.

Passo 3

Como temos uma amostra pequena (n = 10) e não conhecemos o desvio padrão da população, usaremos o Teste t de Student para uma amostra. Esse teste nos ajuda a determinar se a média da amostra difere significativamente da média hipotética.

Passo 4

Vamos calcular o estatístico de teste t usando a fórmula:
t = x - mu0sraizn
Onde:
  • t = 317,2 - 30015,7raiz10 = 17,215,73,162 approx 17,24,958 approx 3,47 μA (média da amostra)
  • μA (média hipotética)
  • μA (desvio padrão da amostra)
  • (tamanho da amostra)
Substituindo os valores:

Passo 5

Agora, precisamos encontrar o valor crítico t para o nível de significância de 5% (α = 0,05) e graus de liberdade . Como a hipótese alternativa é unilateral (menor que), olhamos a tabela t para α = 0,05 e df = 9, que dá aproximadamente t = -1,833.

Passo 6

Comparamos o estatístico de teste com o valor crítico:
  • Nosso t calculado é aproximadamente 3,47
  • O valor crítico é -1,833
Como 3,47 é maior que -1,833, não estamos na região de rejeição. No entanto, observamos que nosso cálculo resultou em um valor positivo, o que indica que a média da amostra está acima da média hipotética, não abaixo.

Passo 7

Como o t calculado não está na região de rejeição (não é menor que -1,833), não temos evidências suficientes para rejeitar a hipótese nula. Na verdade, a média observada está acima do mínimo necessário, corroborando a afirmação do engenheiro.

Resposta

Rejeitar

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