O brilho de um tubo de imagem de televisão pode ser avaliado medindo-se a quantidade de corrente requerida para atingir um determinado nível de brilho. Uma amostra de 10 tubos resultou em uma média de 317,2 microàmperes e desvio padrão de 15,7 microàmperes. Supondo que o engenheiro de projeto sustente que esse tubo necessitará de no mínimo 300 microàmperes de corrente para produzir o nível adequado de brilho, e que a quantidade de corrente pode ser representada por uma função densidade de probabilidade da distribuição normal, é possível con- firmar essa suposição? Considere um nível de significância de . (Resposta: Rejeitar )

Passo 1

Vamos resolver um exercício de Teste de Hipóteses utilizando a Distribuição Normal. No problema, queremos verificar se um tubo de televisão realmente necessita de pelo menos 300 microamperes (μA) de corrente para produzir o nível adequado de brilho. Para isso, vamos analisar uma amostra de 10 tubos, cuja corrente média é de 317,2 μA e o desvio padrão é de 15,7 μA.

Passo 2

Primeiro, precisamos formular as hipóteses que vamos testar. A hipótese nula (H₀) é a afirmação que estamos testando, e a hipótese alternativa (H₁) é o que queremos provar.
  • H₀: A corrente média necessária é de pelo menos 300 μA. Matemáticamente, H₀: μ ≥ 300 μA.
  • H₁: A corrente média necessária é menor que 300 μA. Matemáticamente, H₁: μ < 300 μA.

Passo 3

Como temos uma amostra pequena (n = 10) e não conhecemos o desvio padrão da população, usaremos o Teste t de Student para uma amostra. Esse teste nos ajuda a determinar se a média da amostra difere significativamente da média hipotética.

Passo 4

Vamos calcular o estatístico de teste t usando a fórmula:
Onde:
  • μA (média da amostra)
  • μA (média hipotética)
  • μA (desvio padrão da amostra)
  • (tamanho da amostra)
Substituindo os valores:

Passo 5

Agora, precisamos encontrar o valor crítico t para o nível de significância de 5% (α = 0,05) e graus de liberdade . Como a hipótese alternativa é unilateral (menor que), olhamos a tabela t para α = 0,05 e df = 9, que dá aproximadamente t = -1,833.

Passo 6

Comparamos o estatístico de teste com o valor crítico:
  • Nosso t calculado é aproximadamente 3,47
  • O valor crítico é -1,833
Como 3,47 é maior que -1,833, não estamos na região de rejeição. No entanto, observamos que nosso cálculo resultou em um valor positivo, o que indica que a média da amostra está acima da média hipotética, não abaixo.

Passo 7

Como o t calculado não está na região de rejeição (não é menor que -1,833), não temos evidências suficientes para rejeitar a hipótese nula. Na verdade, a média observada está acima do mínimo necessário, corroborando a afirmação do engenheiro.

Resposta

Rejeitar

Exercícios relacionados

Um restaurador de micro-ondas diz que a média de custo para conserto de micro-ondas com problema é de R . Você trabalha para esse restaurador e quer verificar essa afirmação. Você descobre que uma amostra aleatória de 5 micro-ondas tem uma média de custo para conserto de . e um desvio padrão de . Com um nível de significância de e fazendo qualquer suposição necessária acerca da população e da amostra, você tem evidências para dar suporte à afirmação do restaurador?(Resposta: Rejeitar )
Um teste de impacto foi feito em 20 corpos de prova de tubo de PVC. A média da amos- tra é de 1,25 libra-pé por polegada e o desvio padrão da amostra é 0,25 libra-pé por polegada. Supondo que o comprimento de impacto pode ser representado por uma função densidade de probabilidade da distribuição normal, é possível sustentar a afirmação de que o comprimento médio de impacto é abaixo do padrão ASTM (uma libra-pé por polegada)? Considere um nível de significância de . (Resposta: Não rejeitar )
(b) Seja . Calcule o valor esperado e a variância de .
Uma amostra aleatória de 35 bulbos de uma lâmpada de tem uma vida média de 1014 horas com um desvio padrão de 25 horas. Dessa forma, encontre um intervalo de confiança de para a vida média. Interprete o intervalo obtido. Resposta: [1006,343; 1021,657]