Um ponto é selecionado aleatoriamente no interior de um triângulo equilátero de lado
. Seja
a distância do ponto à base (fixada) do triângulo.
24a
Determinar a f.d.a e d.f.p da variável
.
24a
Determinar a f.d.a e d.f.p da variável
Passo 1
Vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a Função de Distribuição Acumulada (f.d.a) e a Densidade de Probabilidade (d.f.p) da variável
, que representa a distância de um ponto escolhido aleatoriamente dentro de um triângulo equilátero de lado
até a base fixa desse triângulo. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria e probabilidade contínua.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o triângulo equilátero. Cada lado mede 6 cm e todas as alturas são iguais. A altura (
) de um triângulo equilátero pode ser calculada pela fórmula:
Substituindo
:
Então, a distância
varia de 0 cm (na base) até
cm (no vértice oposto à base).
Passo 3
Para encontrar a Função de Distribuição Acumulada (f.d.a), que denotamos por
, precisamos calcular a probabilidade de que a distância
seja menor ou igual a um valor
qualquer entre 0 e
cm. Isso equivale à razão entre a área da região dentro do triângulo onde
e a área total do triângulo.
Passo 4
Vamos calcular a área total do triângulo equilátero. A área (
) é dada por:
Passo 5
Agora, consideramos uma “faixa” horizontal a uma distância
da base. Essa faixa forma um triângulo menor semelhante ao triângulo original. O lado desse triângulo menor (
) está relacionado à altura
pela proporcionalidade dos triângulos semelhantes:
Passo 6
A área desse triângulo menor (
) é:
Passo 7
Agora, a Função de Distribuição Acumulada (f.d.a)
é a razão entre
e
:
Passo 8
Para encontrar a Densidade de Probabilidade (d.f.p)
, vamos derivar a f.d.a em relação a
:
Resposta
A função de distribuição acumulada de
é
e a densidade de probabilidade é
para
.