Um ponto é selecionado aleatoriamente no interior de um triângulo equilátero de lado L=6 cm. Seja X= a distância do ponto à base (fixada) do triângulo.
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Determinar a f.d.a e d.f.p da variável X.

Passo 1

Vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a Função de Distribuição Acumulada (f.d.a) e a Densidade de Probabilidade (d.f.p) da variável X, que representa a distância de um ponto escolhido aleatoriamente dentro de um triângulo equilátero de lado L = 6 cm até a base fixa desse triângulo. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria e probabilidade contínua.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o triângulo equilátero. Cada lado mede 6 cm e todas as alturas são iguais. A altura ( h) de um triângulo equilátero pode ser calculada pela fórmula:
h = raiz32 times L
Substituindo L = 6 cm:
h = raiz32 times 6 = 3raiz3 cm
Então, a distância X varia de 0 cm (na base) até 3raiz3 cm (no vértice oposto à base).

Passo 3

Para encontrar a Função de Distribuição Acumulada (f.d.a), que denotamos por FX(x), precisamos calcular a probabilidade de que a distância X seja menor ou igual a um valor x qualquer entre 0 e 3raiz3 cm. Isso equivale à razão entre a área da região dentro do triângulo onde X <= x e a área total do triângulo.

Passo 4

Vamos calcular a área total do triângulo equilátero. A área ( Atotal) é dada por:
Atotal = 12 times L times h = 12 times 6 times 3raiz3 = 9raiz3 cm^2

Passo 5

Agora, consideramos uma “faixa” horizontal a uma distância x da base. Essa faixa forma um triângulo menor semelhante ao triângulo original. O lado desse triângulo menor ( l) está relacionado à altura x pela proporcionalidade dos triângulos semelhantes:
lL = xh Rightarrow l = L times xh = 6 times x3raiz3 = 2xraiz3

Passo 6

A área desse triângulo menor ( Ax) é:
Ax = 12 times l times x = 12 times 2xraiz3 times x = x^2raiz3 cm^2

Passo 7

Agora, a Função de Distribuição Acumulada (f.d.a) FX(x) é a razão entre Ax e Atotal:
FX(x) = AxAtotal = x^2raiz39raiz3 = x^227 para 0 <= x <= 3raiz3 cm

Passo 8

Para encontrar a Densidade de Probabilidade (d.f.p) fX(x), vamos derivar a f.d.a em relação a x:
fX(x) = ddx FX(x) = ddx ( x^227 ) = 2x27 para 0 <= x <= 3raiz3 cm

Resposta

A função de distribuição acumulada de X é FX(x) = dfracx^227 e a densidade de probabilidade é fX(x) = dfrac2x27 para 0 <= x <= 3raiz3 cm.

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