Um ponto é selecionado aleatoriamente no interior de um triângulo equilátero de lado . Seja a distância do ponto à base (fixada) do triângulo.
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Determinar a f.d.a e d.f.p da variável .

Passo 1

Vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a Função de Distribuição Acumulada (f.d.a) e a Densidade de Probabilidade (d.f.p) da variável , que representa a distância de um ponto escolhido aleatoriamente dentro de um triângulo equilátero de lado até a base fixa desse triângulo. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria e probabilidade contínua.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o triângulo equilátero. Cada lado mede 6 cm e todas as alturas são iguais. A altura ( ) de um triângulo equilátero pode ser calculada pela fórmula:
Substituindo :
Então, a distância varia de 0 cm (na base) até cm (no vértice oposto à base).

Passo 3

Para encontrar a Função de Distribuição Acumulada (f.d.a), que denotamos por , precisamos calcular a probabilidade de que a distância seja menor ou igual a um valor qualquer entre 0 e cm. Isso equivale à razão entre a área da região dentro do triângulo onde e a área total do triângulo.

Passo 4

Vamos calcular a área total do triângulo equilátero. A área ( ) é dada por:

Passo 5

Agora, consideramos uma “faixa” horizontal a uma distância da base. Essa faixa forma um triângulo menor semelhante ao triângulo original. O lado desse triângulo menor ( ) está relacionado à altura pela proporcionalidade dos triângulos semelhantes:

Passo 6

A área desse triângulo menor ( ) é:

Passo 7

Agora, a Função de Distribuição Acumulada (f.d.a) é a razão entre e :

Passo 8

Para encontrar a Densidade de Probabilidade (d.f.p) , vamos derivar a f.d.a em relação a :

Resposta

A função de distribuição acumulada de é e a densidade de probabilidade é para .

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(a)