(b) Seja Y=3 X+2. Calcule o valor esperado e a variância de Y.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão! O enunciado nos pede para calcular o valor esperado e a variância de , onde é definido como . Isso está dentro do assunto de estatística, mais especificamente sobre transformações lineares de variáveis aleatórias. Para resolver, vamos precisar conhecer as propriedades do valor esperado e da variância quando aplicamos operações lineares em uma variável aleatória.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o valor esperado de E(Y) = E(aX + b) = aE(X) + b , denotado por E(Y) = 3E(X) + 2 . O valor esperado é como a média ponderada dos possíveis valores que a variável aleatória pode assumir. Quando temos uma transformação linear da forma , o valor esperado de pode ser calculado usando a seguinte propriedade:
No nosso caso, e . Então,

Passo 3

Agora, vamos calcular a variância de Var(Y) = Var(aX + b) = a^2 Var(X) , denotada por Var(Y) = 3^2 Var(X) = 9Var(X) . A variância mede o quanto os valores de uma variável aleatória estão espalhados em relação à sua média. Para uma transformação linear , a variância de é dada por:
Note que a constante não afeta a variância porque ela apenas desloca a distribuição, mas não altera a dispersão. Aplicando isso ao nosso caso, onde :

Resposta

Então, resumindo:
E(Y) = 3E(X) + 2
Var(Y) = 9Var(X)

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