(b) Seja . Calcule o valor esperado e a variância de .

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão! O enunciado nos pede para calcular o valor esperado e a variância de , onde é definido como . Isso está dentro do assunto de estatística, mais especificamente sobre transformações lineares de variáveis aleatórias. Para resolver, vamos precisar conhecer as propriedades do valor esperado e da variância quando aplicamos operações lineares em uma variável aleatória.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o valor esperado de , denotado por . O valor esperado é como a média ponderada dos possíveis valores que a variável aleatória pode assumir. Quando temos uma transformação linear da forma , o valor esperado de pode ser calculado usando a seguinte propriedade:
No nosso caso, e . Então,

Passo 3

Agora, vamos calcular a variância de , denotada por . A variância mede o quanto os valores de uma variável aleatória estão espalhados em relação à sua média. Para uma transformação linear , a variância de é dada por:
Note que a constante não afeta a variância porque ela apenas desloca a distribuição, mas não altera a dispersão. Aplicando isso ao nosso caso, onde :

Resposta

Então, resumindo:

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