(b) Seja
. Calcule o valor esperado e a variância de
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão! O enunciado nos pede para calcular o valor esperado e a variância de
, onde
é definido como
. Isso está dentro do assunto de estatística, mais especificamente sobre transformações lineares de variáveis aleatórias. Para resolver, vamos precisar conhecer as propriedades do valor esperado e da variância quando aplicamos operações lineares em uma variável aleatória.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o valor esperado de
, denotado por
. O valor esperado é como a média ponderada dos possíveis valores que a variável aleatória pode assumir. Quando temos uma transformação linear da forma
, o valor esperado de
pode ser calculado usando a seguinte propriedade:
No nosso caso,
e
. Então,
Passo 3
Agora, vamos calcular a variância de
, denotada por
. A variância mede o quanto os valores de uma variável aleatória estão espalhados em relação à sua média. Para uma transformação linear
, a variância de
é dada por:
Note que a constante
não afeta a variância porque ela apenas desloca a distribuição, mas não altera a dispersão. Aplicando isso ao nosso caso, onde
:
Resposta
Então, resumindo: