Uma máquina produz bastões metálicos usados em um sistema de suspensão de automóveis. Uma amostra aleatória de 15 bastões é selecionada, sendo o diâmetro medido. Os dados ( em mm ) resultantes são mostrados a seguir:
& 8,24 8,23 8,20 8,21 8,20 8,28 8,26 8,23 8,24 & 8,23 8,26 8,24 8,25 8,19 8,25
Dessa forma, supondo que o diâmetro segue uma distribuição normal, encontre um intervalo de confiança de 95 % para o diâmetro médio dos bastões da população. Interprete o intervalo obtido. Resposta: [8,220; 8,248]

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrarmos um intervalo de confiança de 95% para o diâmetro médio dos bastões produzidos pela máquina. Isso significa que queremos ter uma boa certeza de qual é, em média, o diâmetro desses bastões na população inteira. Para isso, vamos usar conceitos de estatística inferencial, mais especificamente o intervalo de confiança para a média quando a distribuição dos dados é normal. Vamos precisar calcular a média amostral, o desvio padrão da amostra e usar a distribuição t de Student, já que a amostra é pequena (n = 15) e não conhecemos o desvio padrão da população.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a média amostral ( barx = 8,24 + 8,23 + 8,20 + 8,21 + 8,20 + 8,28 + 8,26 + 8,23 + 8,24 + 8,23 + 8,26 + 8,24 + 8,25 + 8,19 + 8,2515 ). Isso é simplesmente a soma de todos os valores dividida pelo número de observações.
sum x = 8,24 + 8,23 + 8,20 + 8,21 + 8,20 + 8,28 + 8,26 + 8,23 + 8,24 + 8,23 + 8,26 + 8,24 + 8,25 + 8,19 + 8,25 = 123,10
Vamos somar todos esses valores:
barx = 123,1015 = 8,2067 , mm
Agora, dividimos pela quantidade de observações:

Passo 3

Agora, vamos calcular o desvio padrão amostral ( s = raizsum (xi - barx)^2n - 1 ). O desvio padrão mede o quanto os dados estão espalhados em relação à média.
Primeiro, calculamos cada diferença entre cada valor e a média, elevamos ao quadrado, somamos todas essas diferenças e depois dividimos pelo número de observações menos um (graus de liberdade). Por fim, tiramos a raiz quadrada desse valor.
& (8,24 - 8,2067)^2 = 0,0013 & (8,23 - 8,2067)^2 = 0,0005 & (8,20 - 8,2067)^2 = 0,00004 & vdots & (Fazemos isso para todos os 15 valores)
Vamos calcular passo a passo:
sum (xi - barx)^2 = 0,0200
Somando todas essas diferenças ao quadrado:
s = raiz0,020015 - 1 = raiz0,020014 approx 0,0378 , mm
Então,

Passo 4

Agora, vamos determinar o valor crítico da distribuição t de Student para um nível de confiança de 95% e graus de liberdade. Consultando uma tabela t ou usando uma calculadora estatística, encontramos que o valor crítico é aproximadamente 2,145.

Passo 5

Com todos os valores calculados, podemos construir o intervalo de confiança usando a fórmula:
barx pm talpha/2 cdot sraizn
Substituindo os valores:
8,2067 pm 2,145 cdot 0,0378raiz15
Primeiro, calculamos o erro padrão ( 0,0378raiz15 approx 0,0098 ):
2,145 cdot 0,0098 approx 0,0210
Agora, multiplicamos pelo valor crítico:
8,2067 - 0,0210 <= mu <= 8,2067 + 0,0210
Então, o intervalo de confiança fica:
8,1857 <= mu <= 8,2277

Resposta

O intervalo de confiança de 95% para o diâmetro médio dos bastões da população é . Isso significa que estamos 95% confiantes de que a média verdadeira do diâmetro dos bastões está dentro desse intervalo.

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