Uma máquina produz bastões metálicos usados em um sistema de suspensão de automóveis. Uma amostra aleatória de 15 bastões é selecionada, sendo o diâmetro medido. Os dados ( em mm ) resultantes são mostrados a seguir:
Dessa forma, supondo que o diâmetro segue uma distribuição normal, encontre um intervalo de confiança de
para o diâmetro médio dos bastões da população. Interprete o intervalo obtido. Resposta: [8,220; 8,248]
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrarmos um intervalo de confiança de 95% para o diâmetro médio dos bastões produzidos pela máquina. Isso significa que queremos ter uma boa certeza de qual é, em média, o diâmetro desses bastões na população inteira. Para isso, vamos usar conceitos de estatística inferencial, mais especificamente o intervalo de confiança para a média quando a distribuição dos dados é normal. Vamos precisar calcular a média amostral, o desvio padrão da amostra e usar a distribuição t de Student, já que a amostra é pequena (n = 15) e não conhecemos o desvio padrão da população.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a média amostral (
). Isso é simplesmente a soma de todos os valores dividida pelo número de observações.
Vamos somar todos esses valores:
Agora, dividimos pela quantidade de observações:
Passo 3
Agora, vamos calcular o desvio padrão amostral (
). O desvio padrão mede o quanto os dados estão espalhados em relação à média.
Primeiro, calculamos cada diferença entre cada valor e a média, elevamos ao quadrado, somamos todas essas diferenças e depois dividimos pelo número de observações menos um (graus de liberdade). Por fim, tiramos a raiz quadrada desse valor.
Vamos calcular passo a passo:
Somando todas essas diferenças ao quadrado:
Então,
Passo 4
Agora, vamos determinar o valor crítico da distribuição t de Student para um nível de confiança de 95% e
graus de liberdade. Consultando uma tabela t ou usando uma calculadora estatística, encontramos que o valor crítico
é aproximadamente 2,145.
Passo 5
Com todos os valores calculados, podemos construir o intervalo de confiança usando a fórmula:
Substituindo os valores:
Primeiro, calculamos o erro padrão (
):
Agora, multiplicamos pelo valor crítico:
Então, o intervalo de confiança fica:
Resposta
O intervalo de confiança de 95% para o diâmetro médio dos bastões da população é
. Isso significa que estamos 95% confiantes de que a média verdadeira do diâmetro dos bastões está dentro desse intervalo.