Uma máquina produz bastões metálicos usados em um sistema de suspensão de automóveis. Uma amostra aleatória de 15 bastões é selecionada, sendo o diâmetro medido. Os dados ( em mm ) resultantes são mostrados a seguir:
Dessa forma, supondo que o diâmetro segue uma distribuição normal, encontre um intervalo de confiança de
para o diâmetro médio dos bastões da população. Interprete o intervalo obtido. Resposta: [8,220; 8,248]
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrarmos um intervalo de confiança de 95% para o diâmetro médio dos bastões produzidos pela máquina. Isso significa que queremos ter uma boa certeza de qual é, em média, o diâmetro desses bastões na população inteira. Para isso, vamos usar conceitos de estatística inferencial, mais especificamente o intervalo de confiança para a média quando a distribuição dos dados é normal. Vamos precisar calcular a média amostral, o desvio padrão da amostra e usar a distribuição t de Student, já que a amostra é pequena (n = 15) e não conhecemos o desvio padrão da população.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a média amostral (
). Isso é simplesmente a soma de todos os valores dividida pelo número de observações.
Vamos somar todos esses valores:
Agora, dividimos pela quantidade de observações:
Passo 3
Agora, vamos calcular o desvio padrão amostral (
). O desvio padrão mede o quanto os dados estão espalhados em relação à média.
Primeiro, calculamos cada diferença entre cada valor e a média, elevamos ao quadrado, somamos todas essas diferenças e depois dividimos pelo número de observações menos um (graus de liberdade). Por fim, tiramos a raiz quadrada desse valor.
Vamos calcular passo a passo:
Somando todas essas diferenças ao quadrado:
Então,
Passo 4
Agora, vamos determinar o valor crítico da distribuição t de Student para um nível de confiança de 95% e
graus de liberdade. Consultando uma tabela t ou usando uma calculadora estatística, encontramos que o valor crítico
é aproximadamente 2,145.
Passo 5
Com todos os valores calculados, podemos construir o intervalo de confiança usando a fórmula:
Substituindo os valores:
Primeiro, calculamos o erro padrão (
):
Agora, multiplicamos pelo valor crítico:
Então, o intervalo de confiança fica:
Resposta
O intervalo de confiança de 95% para o diâmetro médio dos bastões da população é
. Isso significa que estamos 95% confiantes de que a média verdadeira do diâmetro dos bastões está dentro desse intervalo.
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Uma amostra aleatória de 35 bulbos de uma lâmpada de
tem uma vida média de 1014 horas com um desvio padrão de 25 horas. Dessa forma, encontre um intervalo de confiança de
para a vida média. Interprete o intervalo obtido. Resposta: [1006,343; 1021,657]
(b) Seja
. Calcule o valor esperado e a variância de
.
Um ponto é selecionado aleatoriamente no interior de um triângulo equilátero de lado
. Seja
a distância do ponto à base (fixada) do triângulo.
24a
Determinar a f.d.a e d.f.p da variável .
24a
Determinar a f.d.a e d.f.p da variável
Dados
números reais positivos