Em uma universidade, a média da idade dos alunos é 21 anos, com um desvio padrão de 3 anos.
a) Uma amostra aleatória de 36 alunos é selecionada. Qual é a probabilidade de a média das idades desses alunos ser maior do que 22 anos? R. 0,0228 .
b) Qual deve ser o tamanho da amostra para que a probabilidade de a média das idades desses alunos ser menor do que 20 anos seja 0,95 ? R. 25 .
a) Uma amostra aleatória de 36 alunos é selecionada. Qual é a probabilidade de a média das idades desses alunos ser maior do que 22 anos? R. 0,0228 .
b) Qual deve ser o tamanho da amostra para que a probabilidade de a média das idades desses alunos ser menor do que 20 anos seja 0,95 ? R. 25 .
Passo 1
Então, temos um exercício que fala sobre a idade média dos alunos de uma universidade, que é de 21 anos, com um desvio padrão de 3 anos. A gente vai usar conceitos de Estatística, especificamente sobre distribuição amostral da média e a distribuição normal. Vamos precisar entender como calcular probabilidades usando a distribuição normal e também como determinar o tamanho da amostra necessário para certas condições.
Passo 2
Letra a) Queremos saber a probabilidade de, em uma amostra aleatória de 36 alunos, a média das idades ser maior que 22 anos.
Primeiro, vamos lembrar que a média da amostra (
) também segue uma distribuição normal, com média igual à média populacional (
) e desvio padrão igual ao desvio padrão populacional dividido pela raiz quadrada do tamanho da amostra (
).
Aqui:
-
anos -
anos -
Então, o desvio padrão da média da amostra é:
Passo 3
Agora, queremos a probabilidade de
. Para isso, calculamos o Z-score, que nos diz quantos desvios padrão a média observada está acima da média populacional.
A fórmula do Z-score é:
Substituindo os valores:
Passo 4
Com o Z-score calculado, queremos encontrar a probabilidade de Z ser maior que 2 na distribuição normal padrão. Consultando uma tabela Z ou usando uma calculadora de estatística, sabemos que:
Passo 5
Letra b) Agora, queremos descobrir qual deve ser o tamanho da amostra (
) para que a probabilidade de a média das idades ser menor que 20 anos seja 0,95.
Primeiro, vamos definir o Z-score correspondente a essa probabilidade. Sabemos que:
Consultando a tabela Z, o valor de
que corresponde a 0,95 é aproximadamente 1,645.
Passo 6
Usando a fórmula do Z-score, rearranjamos para encontrar
:
Queremos que
, então:
Como estamos lidando com magnitudes, ignoramos o sinal negativo:
Arredondando para o número inteiro mais próximo, temos
.
Resposta
O tamanho da amostra necessário é 25 alunos.