Em uma universidade, a média da idade dos alunos é 21 anos, com um desvio padrão de 3 anos.
a) Uma amostra aleatória de 36 alunos é selecionada. Qual é a probabilidade de a média das idades desses alunos ser maior do que 22 anos? R. 0,0228 .
b) Qual deve ser o tamanho da amostra para que a probabilidade de a média das idades desses alunos ser menor do que 20 anos seja 0,95 ? R. 25 .

Passo 1

Então, temos um exercício que fala sobre a idade média dos alunos de uma universidade, que é de 21 anos, com um desvio padrão de 3 anos. A gente vai usar conceitos de Estatística, especificamente sobre distribuição amostral da média e a distribuição normal. Vamos precisar entender como calcular probabilidades usando a distribuição normal e também como determinar o tamanho da amostra necessário para certas condições.

Passo 2

Letra a) Queremos saber a probabilidade de, em uma amostra aleatória de 36 alunos, a média das idades ser maior que 22 anos.
Primeiro, vamos lembrar que a média da amostra ( barX) também segue uma distribuição normal, com média igual à média populacional ( mu) e desvio padrão igual ao desvio padrão populacional dividido pela raiz quadrada do tamanho da amostra ( sigmabarX = sigmaraizn).
Aqui:
  • mu = 21 anos
  • sigma = 3 anos
  • n = 36
Então, o desvio padrão da média da amostra é:
sigmabarX = 3raiz36 = 36 = 0.5

Passo 3

Agora, queremos a probabilidade de barX > 22. Para isso, calculamos o Z-score, que nos diz quantos desvios padrão a média observada está acima da média populacional.
A fórmula do Z-score é:
Z = barX - musigmabarX
Substituindo os valores:
Z = 22 - 210.5 = 10.5 = 2

Passo 4

Com o Z-score calculado, queremos encontrar a probabilidade de Z ser maior que 2 na distribuição normal padrão. Consultando uma tabela Z ou usando uma calculadora de estatística, sabemos que:
P(Z > 2) = 0.0228

Passo 5

Letra b) Agora, queremos descobrir qual deve ser o tamanho da amostra ( n) para que a probabilidade de a média das idades ser menor que 20 anos seja 0,95.
Primeiro, vamos definir o Z-score correspondente a essa probabilidade. Sabemos que:
P(Z < z) = 0.95
Consultando a tabela Z, o valor de z que corresponde a 0,95 é aproximadamente 1,645.

Passo 6

Usando a fórmula do Z-score, rearranjamos para encontrar n:
Z = barX - musigmabarX Rightarrow sigmabarX = sigmaraizn
Queremos que barX = 20, então:
1,645 = 20 - 213raizn
1,645 = -13raizn Rightarrow 3raizn = -11,645
Como estamos lidando com magnitudes, ignoramos o sinal negativo:
3raizn = 11,645
raizn = 3 times 1,645 approx 4,935
n approx (4,935)^2 approx 24,35
Arredondando para o número inteiro mais próximo, temos n = 25.

Resposta

O tamanho da amostra necessário é 25 alunos.

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