Uma amostra aleatória de tamanho n1=16 é selecionada de uma população normal, com uma média de 75 e um desvio-padrão de 8. Uma segunda amostra aleatória de tamanho n2=9 é retirada de outra população normal, com média 70 e desvio-padrão 12. Sejam barX1 e barX2 duas médias amostrais. Encontre:
b) a probabilidade de 3,4 <= barX1-barX2 <= 5,5.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo e quais conceitos vamos usar. Temos duas populações normais:
  • População 1: Média ( mu1) = 75, Desvio-padrão ( sigma1) = 8, Tamanho da amostra ( n1) = 16.
  • População 2: Média ( mu2) = 70, Desvio-padrão ( sigma2) = 12, Tamanho da amostra ( n2) = 9.
Queremos encontrar a probabilidade de que a diferença entre as médias amostrais ( barX1 - barX2) esteja entre 3,4 e 5,5. Para isso, vamos usar conceitos de distribuição normal e propriedades de médias amostrais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como se comporta a diferença entre duas médias amostrais. Quando temos duas amostras independentes de populações normais, a diferença entre as médias também segue uma distribuição normal. A média dessa diferença é a diferença das médias das populações, e o desvio-padrão é calculado a partir dos desvios-padrão das populações e dos tamanhos das amostras.

Passo 3

Vamos calcular a média da diferença das médias amostrais:
mubarX1 - barX2 = mu1 - mu2 = 75 - 70 = 5
Então, a média da distribuição de barX1 - barX2 é 5.

Passo 4

Agora, vamos calcular o desvio-padrão da diferença das médias amostrais. A fórmula para isso é:
sigmabarX1 - barX2 = raiz(sigma1^2n1) + (sigma2^2n2)
Substituindo os valores:
sigmabarX1 - barX2 = raiz(8^216) + (12^29) = raiz(6416) + (1449) = raiz4 + 16 = raiz20 approx 4,4721
Então, o desvio-padrão da diferença é aproximadamente 4,4721.

Passo 5

Agora que temos a distribuição normal da diferença das médias amostrais, com média 5 e desvio-padrão ≈4,4721, queremos encontrar:
P(3,4 <= barX1 - barX2 <= 5,5)
Para isso, vamos padronizar esses valores usando o Z-score, que é:
Z = X - musigma

Passo 6

Primeiro, calculamos o Z para 3,4:
Z1 = 3,4 - 54,4721 approx -1,64,4721 approx -0,3575
Depois, calculamos o Z para 5,5:
Z2 = 5,5 - 54,4721 approx 0,54,4721 approx 0,1118

Passo 7

Agora, queremos encontrar a probabilidade entre esses dois Z-scores:
P(-0,3575 <= Z <= 0,1118)
Vamos usar a tabela da distribuição normal padrão ou uma calculadora para encontrar essas probabilidades.
Supondo que usamos uma tabela:
  • P(Z <= 0,1118) approx 0,5444
  • P(Z <= -0,3575) approx 0,3603
Então, a probabilidade desejada é:
P = 0,5444 - 0,3603 = 0,1841

Resposta

A probabilidade de 3,4 <= barX1-barX2 <= 5,5 é aproximadamente 18,41%.

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