Uma amostra aleatória de tamanho é selecionada de uma população normal, com uma média de 75 e um desvio-padrão de 8. Uma segunda amostra aleatória de tamanho é retirada de outra população normal, com média 70 e desvio-padrão 12. Sejam e duas médias amostrais. Encontre:
b) a probabilidade de .
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo e quais conceitos vamos usar. Temos duas populações normais:
População 1: Média () = 75, Desvio-padrão () = 8, Tamanho da amostra () = 16.
População 2: Média () = 70, Desvio-padrão () = 12, Tamanho da amostra () = 9.
Queremos encontrar a probabilidade de que a diferença entre as médias amostrais () esteja entre 3,4 e 5,5. Para isso, vamos usar conceitos de distribuição normal e propriedades de médias amostrais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como se comporta a diferença entre duas médias amostrais. Quando temos duas amostras independentes de populações normais, a diferença entre as médias também segue uma distribuição normal. A média dessa diferença é a diferença das médias das populações, e o desvio-padrão é calculado a partir dos desvios-padrão das populações e dos tamanhos das amostras.
Passo 3
Vamos calcular a média da diferença das médias amostrais:
Então, a média da distribuição de é 5.
Passo 4
Agora, vamos calcular o desvio-padrão da diferença das médias amostrais. A fórmula para isso é: