Sejam X1 e X2 variáveis aleatórias independentes, com média mu e variância sigma^2. Suponha que tenhamos dois estimadores de mu: widehatTheta1=X1+X22 e widehatTheta2=X1+3 X24
b) Qual é a variância de cada estimador?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar a variância de dois estimadores de mu, que são widehatTheta1=X1+X22 e widehatTheta2=X1+3 X24. Para resolver isso, vamos usar conceitos de variância de combinações lineares de variáveis aleatórias independentes.

Passo 2

Primeiro, lembremos que a variância de uma combinação linear de variáveis aleatórias independentes é dada por:
Var(aX + bY) = a^2Var(X) + b^2Var(Y)
Como X1 e X2 são independentes e cada uma tem variância sigma^2, podemos aplicar essa fórmula para cada estimador.

Passo 3

Vamos calcular a variância do primeiro estimador widehatTheta1:
widehatTheta1 = X1 + X22 = 12X1 + 12X2
Aplicando a fórmula da variância:
Var(widehatTheta1) = (12)^2sigma^2 + (12)^2sigma^2 = 14sigma^2 + 14sigma^2 = 24sigma^2 = sigma^22

Passo 4

Agora, vamos calcular a variância do segundo estimador widehatTheta2:
widehatTheta2 = X1 + 3X24 = 14X1 + 34X2
Aplicando a fórmula da variância:
Var(widehatTheta2) = (14)^2sigma^2 + (34)^2sigma^2 = 116sigma^2 + 916sigma^2 = 1016sigma^2 = 5sigma^28

Resposta

A variância dos estimadores é:
Var(widehatTheta1) = sigma^22 e Var(widehatTheta2) = 5sigma^28

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