Mostre que a seguinte função satisfaz as propriedades de uma função de probabilidade conjunta:
x y fxy(x, y)
1,0 1 14
1,5 2 18
1,5 3 14
2,5 4 14
3 5 18
Determine o seguinte:
c) P(Y<3)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma tabela que define uma função de probabilidade conjunta para duas variáveis, $ X $ e $ Y $. A pergunta aqui é determinar $ \mathrm{P}(Y < 3) $, ou seja, a probabilidade de que a variável $ Y $ seja menor que 3. Para fazer isso, vamos precisar entender como somar as probabilidades correspondentes aos valores de $ Y $ que são menores que 3 na tabela.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar quais são os valores de $ Y $ que são menores que 3. Olhando a tabela, vemos que $ Y $ pode assumir os valores 1, 2, 3, 4 e 5. Então, os valores que satisfazem $ Y < 3 $ são $ Y = 1 $ e $ Y = 2 $.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar as probabilidades correspondentes a esses valores de $ Y $ na tabela. Vamos olhar cada linha da tabela e selecionar aquelas onde $ Y $ é 1 ou 2.
  • Para $ Y = 1 $: $ f_{XY}(1.0, 1) = \frac{1}{4} $
  • Para $ Y = 2 $: $ f_{XY}(1.5, 2) = \frac{1}{8} $

Passo 4

A probabilidade de $ Y < 3 $ é a soma das probabilidades encontradas nos casos acima. Então, fazemos a soma:
Y < 3
Para somar essas frações, vamos achar um denominador comum, que é 8:
P(Y < 3) = 14 + 18
Então:
14 = 28

Resposta

A probabilidade de $ Y < 3 $ é $ \frac{3}{8} $.

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