Determine o valor de c que torna a função
uma função densidade de probabilidade conjunta ao longo da faixa
e
.
Determine o seguinte:
f)
Determine o seguinte:
f)
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos a função conjunta de densidade de probabilidade dada por $ f(x, y) = c \cdot e^{-2x - 3y} $ para $ 0 < x $ e $ 0 < y < x $. Nosso objetivo aqui é encontrar o valor de $ c $ que faz essa função ser uma densidade válida e, em seguida, calcular a esperança matemática de $ Y $, que é $ \mathrm{E}(Y) $.
Passo 2
Primeiro, para que $ f(x, y) $ seja uma função de densidade de probabilidade conjunta válida, a integral dupla dela sobre toda a região onde está definida deve ser igual a 1. Isso significa que:
Aqui, a região de integração é $ 0 < y < x $ e $ 0 < x < \infty $.
Passo 3
Vamos resolver a integral interna primeiro, que integra em relação a $ y $:
Simplificando:
Passo 4
Agora, substituímos o resultado da integral interna de volta na integral externa:
Fatorando os constantes:
Passo 5
Vamos separar a integral:
Simplificando os expoentes:
Passo 6
Calculando as integrais:
Portanto:
Substituindo de volta:
Passo 7
Resolvendo para $ c $:
Passo 8
Agora que temos $ c = 10 $, vamos calcular $ \mathrm{E}(Y) $. A esperança matemática de $ Y $ é dada por:
Substituindo $ f(x, y) $:
Passo 9
Vamos calcular a integral interna primeiro:
Para resolver isso, usamos a integração por partes. Seja $ u = y $ e $ dv = e^{-3y} dy $. Então, $ du = dy $ e $ v = -\frac{1}{3} e^{-3y} $.
Aplicando integração por partes:
Avaliado de 0 a $ x $:
Simplificando:
Passo 10
Voltando à expressão de $ \mathrm{E}(Y) $:
Fatorando os constantes:
Passo 11
Vamos dividir a integral em duas partes:
Simplificando os expoentes:
Passo 12
Vamos calcular a segunda integral:
Sabemos que:
Portanto:
Passo 13
Voltando à expressão de $ \mathrm{E}(Y) $:
Resposta
O valor de $ \mathrm{E}(Y) $ é $ \frac{1}{5} $.