Determine o valor de c que torna a função f(x, y)=c e^-2 x-3 y uma função densidade de probabilidade conjunta ao longo da faixa 0 e 0.
Determine o seguinte:
f) E(Y)

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos a função conjunta de densidade de probabilidade dada por $ f(x, y) = c \cdot e^{-2x - 3y} $ para $ 0 < x $ e $ 0 < y < x $. Nosso objetivo aqui é encontrar o valor de $ c $ que faz essa função ser uma densidade válida e, em seguida, calcular a esperança matemática de $ Y $, que é $ \mathrm{E}(Y) $.

Passo 2

Primeiro, para que $ f(x, y) $ seja uma função de densidade de probabilidade conjunta válida, a integral dupla dela sobre toda a região onde está definida deve ser igual a 1. Isso significa que:
f(x, y)
Aqui, a região de integração é $ 0 < y < x $ e $ 0 < x < \infty $.

Passo 3

Vamos resolver a integral interna primeiro, que integra em relação a $ y $:
y
Simplificando:
integral0^x e^-3y , dy = [ -13 e^-3y ]0^x = -13 e^-3x + 13

Passo 4

Agora, substituímos o resultado da integral interna de volta na integral externa:
integral0^infty c cdot e^-2x cdot 13 (1 - e^-3x) , dx = 1
Fatorando os constantes:
c3 integral0^infty e^-2x (1 - e^-3x) , dx = 1

Passo 5

Vamos separar a integral:
c3 ( integral0^infty e^-2x , dx - integral0^infty e^-2x e^-3x , dx ) = 1
Simplificando os expoentes:
c3 ( integral0^infty e^-2x , dx - integral0^infty e^-5x , dx ) = 1

Passo 6

Calculando as integrais:
integral0^infty e^-ax , dx = 1a
Portanto:
integral0^infty e^-2x , dx = 12 e integral0^infty e^-5x , dx = 15
Substituindo de volta:
c3 ( 12 - 15 ) = 1
c3 ( 5 - 210 ) = 1
c3 cdot 310 = 1

Passo 7

Resolvendo para $ c $:
c

Passo 8

Agora que temos $ c = 10 $, vamos calcular $ \mathrm{E}(Y) $. A esperança matemática de $ Y $ é dada por:
c = 10
Substituindo $ f(x, y) $:
E(Y)

Passo 9

Vamos calcular a integral interna primeiro:
integral0^x y cdot e^-3y , dy
Para resolver isso, usamos a integração por partes. Seja $ u = y $ e $ dv = e^{-3y} dy $. Então, $ du = dy $ e $ v = -\frac{1}{3} e^{-3y} $.
Aplicando integração por partes:
u = y
Avaliado de 0 a $ x $:
dv = e^-3y dy
Simplificando:
du = dy

Passo 10

Voltando à expressão de $ \mathrm{E}(Y) $:
E(Y)
Fatorando os constantes:
E(Y) = 10 integral0^infty e^-2x cdot 19 (1 - e^-3x (3x + 1)) , dx

Passo 11

Vamos dividir a integral em duas partes:
E(Y) = 109 ( integral0^infty e^-2x , dx - integral0^infty e^-2x e^-3x (3x + 1) , dx )
Simplificando os expoentes:
E(Y) = 109 ( 12 - integral0^infty e^-5x (3x + 1) , dx )

Passo 12

Vamos calcular a segunda integral:
integral0^infty e^-5x (3x + 1) , dx = 3 integral0^infty x e^-5x , dx + integral0^infty e^-5x , dx
Sabemos que:
integral0^infty x e^-ax , dx = 1a^2 e integral0^infty e^-ax , dx = 1a
Portanto:
3 cdot 125 + 15 = 325 + 525 = 825

Passo 13

Voltando à expressão de $ \mathrm{E}(Y) $:
E(Y)

Resposta

O valor de $ \mathrm{E}(Y) $ é $ \frac{1}{5} $.

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