Determine o valor de c que torna a função f(x, y)=c e^-2 x-3 y uma função densidade de probabilidade conjunta ao longo da faixa 0 e 0.
Determine o seguinte:
a) P(X<1, Y<2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função $ f(x, y) = c \cdot e^{-2x - 3y} $ definida para $ 0 < x $ e $ 0 < y < x $. Nosso objetivo é primeiro encontrar o valor de $ c $ que faz essa função ser uma função densidade de probabilidade conjunta. Depois, vamos calcular a probabilidade $ P(X < 1, Y < 2) $. Para isso, vamos precisar usar conceitos de integração dupla e propriedades das funções densidade.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o valor de $ c $. Para que $ f(x, y) $ seja uma função densidade de probabilidade conjunta, a integral dela sobre toda a região onde está definida deve ser igual a 1. Ou seja:
c

Passo 3

Vamos resolver a integral dupla passo a passo. Primeiro, integramos em relação a $ y $:
y
Simplificando:
integral0^x e^-3y , dy = [ -13 e^-3y ]0^x = -13 e^-3x + 13
Agora, a integral fica:
13 (1 - e^-3x)
Podemos separar essa integral em duas partes:
c cdot integral0^infty e^-2x cdot 1 - e^-3x3 , dx = 1
Calculando cada integral:
c3 ( integral0^infty e^-2x , dx - integral0^infty e^-5x , dx ) = 1
Substituindo de volta:
integral0^infty e^-2x , dx = 12 e integral0^infty e^-5x , dx = 15

Passo 4

Agora que sabemos que $ c = 10 $, vamos calcular $ P(X < 1, Y < 2) $. Mas atenção! A região onde $ Y < x $ e também $ Y < 2 $ precisa ser considerada. Como $ Y < x $ e $ x < 1 $, na verdade $ Y < 1 $ também. Então, essencialmente, queremos $ P(X < 1, Y < 1) $.
Vamos montar a integral:
c = 10
Primeiro, integramos em relação a $ y $:
P(X < 1, Y < 2)
Agora, a integral fica:
Y < x
Calculando cada parte:
Y < 2
Substituindo de volta:
Y < x
Podemos deixar a resposta assim ou calcular numericamente:
x < 1

Resposta

O valor de $ c $ que torna a função uma densidade de probabilidade conjunta é 10. A probabilidade $ P(X < 1, Y < 2) $ é aproximadamente 2,337.

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