Determine o valor de c que torna a função
uma função densidade de probabilidade conjunta ao longo da faixa
e
.
Determine o seguinte:
a)
Determine o seguinte:
a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função $ f(x, y) = c \cdot e^{-2x - 3y} $ definida para $ 0 < x $ e $ 0 < y < x $. Nosso objetivo é primeiro encontrar o valor de $ c $ que faz essa função ser uma função densidade de probabilidade conjunta. Depois, vamos calcular a probabilidade $ P(X < 1, Y < 2) $. Para isso, vamos precisar usar conceitos de integração dupla e propriedades das funções densidade.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o valor de $ c $. Para que $ f(x, y) $ seja uma função densidade de probabilidade conjunta, a integral dela sobre toda a região onde está definida deve ser igual a 1. Ou seja:
Passo 3
Vamos resolver a integral dupla passo a passo. Primeiro, integramos em relação a $ y $:
Simplificando:
Agora, a integral fica:
Podemos separar essa integral em duas partes:
Calculando cada integral:
Substituindo de volta:
Passo 4
Agora que sabemos que $ c = 10 $, vamos calcular $ P(X < 1, Y < 2) $. Mas atenção! A região onde $ Y < x $ e também $ Y < 2 $ precisa ser considerada. Como $ Y < x $ e $ x < 1 $, na verdade $ Y < 1 $ também. Então, essencialmente, queremos $ P(X < 1, Y < 1) $.
Vamos montar a integral:
Primeiro, integramos em relação a $ y $:
Agora, a integral fica:
Calculando cada parte:
Substituindo de volta:
Podemos deixar a resposta assim ou calcular numericamente:
Resposta
O valor de $ c $ que torna a função uma densidade de probabilidade conjunta é 10. A probabilidade $ P(X < 1, Y < 2) $ é aproximadamente 2,337.