Uma amostra aleatória de tamanho
é selecionada de uma população normal, com média
e desvio-padrão
. Uma segunda amostra aleatória de tamanho
é retirada de outra população normal, com média
e desvio-padrão
. Sejam
e
as médias amostrais de
e
, respectivamente.
Encontre:
A probabilidade de
exceder
Encontre:
A probabilidade de
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos duas amostras de populações normais. A primeira amostra tem tamanho $ n_1 = 16 $, média $ \mu_{X_1} = 75 $ e desvio-padrão $ \sigma_{X_1} = 8 $. A segunda amostra tem tamanho $ n_2 = 9 $, média $ \mu_{X_2} = 70 $ e desvio-padrão $ \sigma_{X_2} = 12
\bar{X}_1 - \bar{X}_2 $) exceder 4. Para resolver isso, vamos usar conceitos de distribuição de amostra e propriedades da diferença entre duas médias.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que a diferença entre duas médias amostrais de populações normais também segue uma distribuição normal. A média dessa diferença será $ \mu_{\bar{X}1} - \mu{\bar{X}_2} $, e o desvio-padrão será a raiz quadrada da soma dos quadrados dos desvios-padrão das médias individuais.
Passo 3
Vamos calcular a média da diferença das médias:
Passo 4
Agora, calculamos o desvio-padrão da diferença das médias. Primeiro, encontramos o desvio-padrão de cada média amostral:
Então, o desvio-padrão da diferença é:
Passo 5
Agora, queremos encontrar $ P(\bar{X}_1 - \bar{X}_2 > 4) $. Primeiro, encontramos o valor-z correspondente a $ \bar{X}_1 - \bar{X}_2 = 4 $:
Passo 6
Agora, usamos a tabela da distribuição normal padrão para encontrar a probabilidade associada a $ z = -0,2236 $. A tabela nos dá $ P(Z < -0,2236) \approx 0,4114 $. Mas queremos $ P(Z > -0,2236) $, que é:
Resposta
A probabilidade de $ (\bar{X}_1 - \bar{X}_2) $ exceder 4 é aproximadamente 0,5871.