Uma amostra aleatória de tamanho n1=16 é selecionada de uma população normal, com média muX1=75 e desvio-padrão sigmaX1=8. Uma segunda amostra aleatória de tamanho n2=9 é retirada de outra população normal, com média muX2=70 e desvio-padrão sigmaX2=12. Sejam barX1 e barX2 as médias amostrais de X1 e X2, respectivamente.
Encontre:
A probabilidade de (barX1-barX2) exceder 4 ;(R: 0,5871)

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos duas amostras de populações normais. A primeira amostra tem tamanho $ n_1 = 16 $, média $ \mu_{X_1} = 75 $ e desvio-padrão $ \sigma_{X_1} = 8 $. A segunda amostra tem tamanho $ n_2 = 9 $, média $ \mu_{X_2} = 70 $ e desvio-padrão $ \sigma_{X_2} = 12 n1 = 16 çé \bar{X}_1 - \bar{X}_2 $) exceder 4. Para resolver isso, vamos usar conceitos de distribuição de amostra e propriedades da diferença entre duas médias.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que a diferença entre duas médias amostrais de populações normais também segue uma distribuição normal. A média dessa diferença será $ \mu_{\bar{X}1} - \mu{\bar{X}_2} $, e o desvio-padrão será a raiz quadrada da soma dos quadrados dos desvios-padrão das médias individuais.

Passo 3

Vamos calcular a média da diferença das médias:
mubarX1 - barX2 = muX1 - muX2 = 75 - 70 = 5

Passo 4

Agora, calculamos o desvio-padrão da diferença das médias. Primeiro, encontramos o desvio-padrão de cada média amostral:
sigmabarX1 = sigmaX1raizn1 = 8raiz16 = 84 = 2
sigmabarX2 = sigmaX2raizn2 = 12raiz9 = 123 = 4
Então, o desvio-padrão da diferença é:
sigmabarX1 - barX2 = raizsigmabarX1^2 + sigmabarX2^2 = raiz2^2 + 4^2 = raiz4 + 16 = raiz20 approx 4,4721

Passo 5

Agora, queremos encontrar $ P(\bar{X}_1 - \bar{X}_2 > 4) $. Primeiro, encontramos o valor-z correspondente a $ \bar{X}_1 - \bar{X}_2 = 4 $:
P(barX1 - barX2 > 4)

Passo 6

Agora, usamos a tabela da distribuição normal padrão para encontrar a probabilidade associada a $ z = -0,2236 $. A tabela nos dá $ P(Z < -0,2236) \approx 0,4114 $. Mas queremos $ P(Z > -0,2236) $, que é:
z = -0,2236

Resposta

A probabilidade de $ (\bar{X}_1 - \bar{X}_2) $ exceder 4 é aproximadamente 0,5871.

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