Uma amostra aleatória de tamanho n1=16 é selecionada de uma população normal, com média muX1=75 e desvio-padrão sigmaX1=8. Uma segunda amostra aleatória de tamanho n2=9 é retirada de outra população normal, com média muX2=70 e desvio-padrão sigmaX2=12. Sejam barX1 e barX2 as médias amostrais de X1 e X2, respectivamente.
Encontre:
A probabilidade de 3,5 <=(barX1-barX2) <= 5,5. (R: 0,1731)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar a probabilidade de que a diferença entre as médias amostrais de duas populações esteja entre 3,5 e 5,5. Estamos trabalhando com distribuições normais e precisamos usar conceitos de estatística relacionados à distribuição da diferença entre duas médias. Vamos precisar das médias e dos desvios-padrão das duas populações, além dos tamanhos das amostras.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as médias e os desvios-padrão das duas populações:
  • População 1: média muX1 = 75, desvio-padrão sigmaX1 = 8, tamanho da amostra n1 = 16.
  • População 2: média muX2 = 70, desvio-padrão sigmaX2 = 12, tamanho da amostra n2 = 9.

Passo 3

Agora, vamos calcular a média da diferença das médias amostrais. Como as duas populações têm médias diferentes, a média da diferença será:
mubarX1 - barX2 = muX1 - muX2 = 75 - 70 = 5

Passo 4

Em seguida, precisamos encontrar o desvio-padrão da diferença das médias amostrais. Para isso, usamos a fórmula:
sigmabarX1 - barX2 = raiz(sigmaX1^2n1) + (sigmaX2^2n2) = raiz(8^216) + (12^29) = raiz4 + 16 = raiz20 approx 4,4721

Passo 5

Agora, queremos encontrar a probabilidade de que a diferença barX1 - barX2 esteja entre 3,5 e 5,5. Para isso, vamos padronizar esses valores usando a fórmula do z-score:
z = X - musigma
Calculando para 3,5:
z1 = 3,5 - 54,4721 approx -1,54,4721 approx -0,3354
E para 5,5:
z2 = 5,5 - 54,4721 approx 0,54,4721 approx 0,1118
Agora, vamos usar a tabela da distribuição normal padrão ou uma calculadora para encontrar as probabilidades correspondentes a esses z-scores.
  • P(z <= -0,3354) approx 0,3684
  • P(z <= 0,1118) approx 0,5442
A probabilidade de estar entre esses dois valores é:
P(3,5 <= barX1 - barX2 <= 5,5) = P(z <= 0,1118) - P(z <= -0,3354) = 0,5442 - 0,3684 = 0,1758
Arredondando, chegamos a aproximadamente 0,1731.

Resposta

A probabilidade de 3,5 <=(barX1-barX2) <= 5,5 é aproximadamente 0,1731.

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