Uma amostra apresentou a seguinte distribuição de frequências:
Classes | Frequências |
---|---|
|
14 |
|
22 |
|
16 |
|
13 |
|
7 |
|
3 |
|
4 |
|
1 |
Calcule a média, a mediana, a moda, o desvio padrão e o coeficiente de variação.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de estatística que pede para calcular a média, mediana, moda, desvio padrão e coeficiente de variação de uma distribuição de frequência. Para isso, a gente vai precisar entender sobre classes, frequências, e usar algumas fórmulas básicas de medidas de tendência central e dispersão. Vamos precisar calcular os pontos médios das classes, somar as frequências, e aplicar as fórmulas passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o ponto médio de cada classe, que é a média entre o limite inferior e o limite superior da classe. Isso ajuda a representar cada classe por um único valor.
Por exemplo, para a classe
, o ponto médio é
.
Fazendo isso para todas as classes, temos:
Classes | Frequências (
|
Ponto Médio (
|
---|---|---|
|
14 | 1,035 |
|
22 | 1,105 |
|
16 | 1,175 |
|
13 | 1,245 |
|
7 | 1,315 |
|
3 | 1,385 |
|
4 | 1,455 |
|
1 | 1,525 |
Passo 3
Agora, vamos calcular
para cada classe e somar esses valores para encontrar a média.
Classes |
|
|
|
---|---|---|---|
|
14 | 1,035 | 14 × 1,035 = 14,49 |
|
22 | 1,105 | 22 × 1,105 = 24,31 |
|
16 | 1,175 | 16 × 1,175 = 18,80 |
|
13 | 1,245 | 13 × 1,245 = 16,19 |
|
7 | 1,315 | 7 × 1,315 = 9,21 |
|
3 | 1,385 | 3 × 1,385 = 4,16 |
|
4 | 1,455 | 4 × 1,455 = 5,82 |
|
1 | 1,525 | 1 × 1,525 = 1,53 |
Total | 84 | 94,51 |
A soma das frequências é 84 e a soma de
é 94,51.
Passo 4
Para calcular a média (
), usamos a fórmula:
Então, a média é aproximadamente 1,125.
Passo 5
Agora, vamos encontrar a mediana. Primeiro, precisamos identificar a classe mediana, que é a classe onde está o valor que divide a distribuição ao meio. Como temos um total de 84 observações, a mediana será o valor da 42ª observação.
Vamos calcular a frequência acumulada:
Classes | Frequências (
|
Frequência Acumulada |
---|---|---|
|
14 | 14 |
|
22 | 36 |
|
16 | 52 |
|
13 | 65 |
|
7 | 72 |
|
3 | 75 |
|
4 | 79 |
|
1 | 80 |
A 42ª observação está na segunda classe (
), pois a acumulada até essa classe é 36 e a próxima classe vamos chegar a 52.
Usamos a fórmula da mediana:
Onde:
-
(limite inferior da classe mediana) -
-
(frequência acumulada antes da classe mediana) -
(frequência da classe mediana) -
(largura da classe)
Substituindo:
Então, a mediana é aproximadamente 1,154.
Passo 6
Vamos calcular a moda. A moda é a classe com maior frequência, que aqui é a segunda classe (
) com 22 observações.
Usamos a fórmula da moda:
Onde:
-
(limite inferior da classe modal) -
(frequência da classe modal) -
(frequência da classe anterior) -
(frequência da classe seguinte) -
(largura da classe)
Substituindo:
Então, a moda é aproximadamente 1,11.
Passo 7
Agora, vamos calcular o desvio padrão. Primeiro, precisamos calcular
.
Classes |
|
|
|
|
---|---|---|---|---|
|
14 | 1,035 | 1,071225 | 14 × 1,071225 = 14,99715 |
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22 | 1,105 | 1,221025 | 22 × 1,221025 = 26,86255 |
|
16 | 1,175 | 1,380625 | 16 × 1,380625 = 22,08999 |
|
13 | 1,245 | 1,550025 | 13 × 1,550025 = 20,150325 |
|
7 | 1,315 | 1,729225 | 7 × 1,729225 = 12,104575 |
|
3 | 1,385 | 1,918225 | 3 × 1,918225 = 5,754675 |
|
4 | 1,455 | 2,116025 | 4 × 2,116025 = 8,4641 |
|
1 | 1,525 | 2,325625 | 1 × 2,325625 = 2,325625 |
Total | 84 | 111,5702 |
Agora, aplicamos a fórmula do desvio padrão populacional:
Substituindo os valores:
Então, o desvio padrão é aproximadamente 0,2525.
Passo 8
Por fim, vamos calcular o coeficiente de variação, que é uma medida relativa de dispersão e é dado por:
Então, o coeficiente de variação é aproximadamente 22,43%.
Resposta
- Média: 1,125
- Mediana: 1,154
- Moda: 1,11
- Desvio Padrão: 0,2525
- Coeficiente de Variação: 22,43%