Uma amostra apresentou a seguinte distribuição de frequências:
Classes Frequências
1,00-1,07 14
1,07-1,14 22
1,14-1,21 16
1,21-1,28 13
1,28-1,35 7
1,35-1,42 3
1,42-1,49 4
1,49-1,56 1
Calcule a média, a mediana, a moda, o desvio padrão e o coeficiente de variação.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de estatística que pede para calcular a média, mediana, moda, desvio padrão e coeficiente de variação de uma distribuição de frequência. Para isso, a gente vai precisar entender sobre classes, frequências, e usar algumas fórmulas básicas de medidas de tendência central e dispersão. Vamos precisar calcular os pontos médios das classes, somar as frequências, e aplicar as fórmulas passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o ponto médio de cada classe, que é a média entre o limite inferior e o limite superior da classe. Isso ajuda a representar cada classe por um único valor.
Por exemplo, para a classe 1,00-1,07, o ponto médio é 1,00 + 1,072 = 1,035.
Fazendo isso para todas as classes, temos:
Classes Frequências ( fi) Ponto Médio ( xi)
1,00-1,07 14 1,035
1,07-1,14 22 1,105
1,14-1,21 16 1,175
1,21-1,28 13 1,245
1,28-1,35 7 1,315
1,35-1,42 3 1,385
1,42-1,49 4 1,455
1,49-1,56 1 1,525

Passo 3

Agora, vamos calcular fi times xi para cada classe e somar esses valores para encontrar a média.
Classes fi xi fi times xi
1,00-1,07 14 1,035 14 × 1,035 = 14,49
1,07-1,14 22 1,105 22 × 1,105 = 24,31
1,14-1,21 16 1,175 16 × 1,175 = 18,80
1,21-1,28 13 1,245 13 × 1,245 = 16,19
1,28-1,35 7 1,315 7 × 1,315 = 9,21
1,35-1,42 3 1,385 3 × 1,385 = 4,16
1,42-1,49 4 1,455 4 × 1,455 = 5,82
1,49-1,56 1 1,525 1 × 1,525 = 1,53
Total 84 94,51
A soma das frequências é 84 e a soma de fi times xi é 94,51.

Passo 4

Para calcular a média ( barx), usamos a fórmula:
barx = Sigma fi xiSigma fi = 94,5184 approx 1,1249
Então, a média é aproximadamente 1,125.

Passo 5

Agora, vamos encontrar a mediana. Primeiro, precisamos identificar a classe mediana, que é a classe onde está o valor que divide a distribuição ao meio. Como temos um total de 84 observações, a mediana será o valor da 42ª observação.
Vamos calcular a frequência acumulada:
Classes Frequências ( fi) Frequência Acumulada
1,00-1,07 14 14
1,07-1,14 22 36
1,14-1,21 16 52
1,21-1,28 13 65
1,28-1,35 7 72
1,35-1,42 3 75
1,42-1,49 4 79
1,49-1,56 1 80
A 42ª observação está na segunda classe ( 1,07-1,14), pois a acumulada até essa classe é 36 e a próxima classe vamos chegar a 52.
Usamos a fórmula da mediana:
Mediana = L + ( N2 - Ff ) times c
Onde:
  • L = 1,07 (limite inferior da classe mediana)
  • N = 84
  • F = 14 (frequência acumulada antes da classe mediana)
  • f = 22 (frequência da classe mediana)
  • c = 0,07 (largura da classe)
Substituindo:
Mediana = 1,07 + ( 42 - 1422 ) times 0,07 approx 1,07 + 0,084 approx 1,154
Então, a mediana é aproximadamente 1,154.

Passo 6

Vamos calcular a moda. A moda é a classe com maior frequência, que aqui é a segunda classe ( 1,07-1,14) com 22 observações.
Usamos a fórmula da moda:
Moda = L + ( f1 - f02f1 - f0 - f2 ) times c
Onde:
  • L = 1,07 (limite inferior da classe modal)
  • f1 = 22 (frequência da classe modal)
  • f0 = 14 (frequência da classe anterior)
  • f2 = 16 (frequência da classe seguinte)
  • c = 0,07 (largura da classe)
Substituindo:
Moda = 1,07 + ( 22 - 142 times 22 - 14 - 16 ) times 0,07 = 1,07 + ( 844 - 14 - 16 ) times 0,07 = 1,07 + ( 814 ) times 0,07 approx 1,07 + 0,04 = 1,11
Então, a moda é aproximadamente 1,11.

Passo 7

Agora, vamos calcular o desvio padrão. Primeiro, precisamos calcular Sigma fi xi^2.
Classes fi xi xi^2 fi xi^2
1,00-1,07 14 1,035 1,071225 14 × 1,071225 = 14,99715
1,07-1,14 22 1,105 1,221025 22 × 1,221025 = 26,86255
1,14-1,21 16 1,175 1,380625 16 × 1,380625 = 22,08999
1,21-1,28 13 1,245 1,550025 13 × 1,550025 = 20,150325
1,28-1,35 7 1,315 1,729225 7 × 1,729225 = 12,104575
1,35-1,42 3 1,385 1,918225 3 × 1,918225 = 5,754675
1,42-1,49 4 1,455 2,116025 4 × 2,116025 = 8,4641
1,49-1,56 1 1,525 2,325625 1 × 2,325625 = 2,325625
Total 84 111,5702
Agora, aplicamos a fórmula do desvio padrão populacional:
sigma = raiz Sigma fi xi^2Sigma fi - barx^2
Substituindo os valores:
sigma = raiz 111,570284 - (1,1249)^2 approx raiz1,32905 - 1,2653 approx raiz0,06375 approx 0,2525
Então, o desvio padrão é aproximadamente 0,2525.

Passo 8

Por fim, vamos calcular o coeficiente de variação, que é uma medida relativa de dispersão e é dado por:
Coeficiente de Variação = ( sigmabarx ) times 100% = ( 0,25251,1249 ) times 100% approx 22,43% çã
Então, o coeficiente de variação é aproximadamente 22,43%.

Resposta

  • Média: 1,125
  • Mediana: 1,154
  • Moda: 1,11
  • Desvio Padrão: 0,2525
  • Coeficiente de Variação: 22,43%

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