Uma amostra apresentou a seguinte distribuição de frequências:
Classes Frequências
85-94 3
95-104 11
105-114 15
115-124 24
125-134 21
135-144 13
145-154 8
155-164 5
Calcule a média, a mediana, a moda e o desvio padrão.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de estatística juntos! Temos uma tabela com classes e suas respectivas frequências. Nosso objetivo é calcular quatro medidas importantes: média, mediana, moda e desvio padrão. Para isso, vamos usar conceitos de estatística descritiva, como distribuição de frequências e fórmulas básicas para cada uma dessas medidas.

Passo 2

Calculando a Média
A média é o valor médio dos dados. Para calcular, a gente multiplica o ponto médio de cada classe pela sua frequência, soma tudo e divide pelo total de observações.
Primeiro, vamos achar o ponto médio de cada classe:
Ponto Médio = Limite Inferior + Limite Superior2 é
Classes Frequências Ponto Médio
85-94 3 85 + 942 = 89.5
95-104 11 95 + 1042 = 99.5
105-114 15 105 + 1142 = 109.5
115-124 24 115 + 1242 = 119.5
125-134 21 125 + 1342 = 129.5
135-144 13 135 + 1442 = 139.5
145-154 8 145 + 1542 = 149.5
155-164 5 155 + 1642 = 159.5
Agora, multiplicamos cada ponto médio pela frequência correspondente:
89.5 times 3 &= 268.5 99.5 times 11 &= 1,094.5 109.5 times 15 &= 1,642.5 119.5 times 24 &= 2,868 129.5 times 21 &= 2,719.5 139.5 times 13 &= 1,813.5 149.5 times 8 &= 1,196 159.5 times 5 &= 797.5
Somamos todos esses resultados:
268.5 + 1,094.5 + 1,642.5 + 2,868 + 2,719.5 + 1,813.5 + 1,196 + 797.5 = 11,300
O total de observações é:
3 + 11 + 15 + 24 + 21 + 13 + 8 + 5 = 100
Então, a média é:
Média = 11,300100 = 113 é

Passo 3

Calculando a Mediana
A mediana é o valor que está no meio dos dados quando eles são ordenados. Como temos 100 observações (n = 100), a mediana será a média dos 50º e 51º elementos.
Primeiro, construímos a tabela de frequências cumulativas:
Classes Frequências Frequência Acumulada
85-94 3 3
95-104 11 14
105-114 15 29
115-124 24 53
125-134 21 74
135-144 13 87
145-154 8 95
155-164 5 100
Observamos que a 50ª e 51ª observações estão na classe 115-124, pois a frequência acumulada até essa classe é 53.
Agora, usamos a fórmula da mediana para classes:
Mediana = L + ( n2 - Ff ) times c
Onde:
  • Mediana = 115 + ( 50 - 2924 ) times 9 = 115 + ( 2124 ) times 9 = 115 + 7.875 = 122.875 = limite inferior da classe mediana = 115
  • = total de observações = 100
  • = frequência acumulada antes da classe mediana = 29
  • = frequência da classe mediana = 24
  • = amplitude da classe = 124 - 115 = 9
Substituindo:

Passo 4

Calculando a Moda
A moda é o valor que ocorre com maior frequência. Na nossa tabela, a classe com a maior frequência é 115-124, com 24 ocorrências.
Para encontrar a moda em classes, usamos a fórmula:
Onde:
  • Moda = L + ( fm - fm-12fm - fm-1 - fm+1 ) times c = limite inferior da classe modal = 115
  • Moda = 115 + ( 24 - 152 times 24 - 15 - 21 ) times 9 = 115 + ( 948 - 36 ) times 9 = 115 + ( 912 ) times 9 = 115 + 6.75 = 121.75 = frequência da classe modal = 24
  • = frequência da classe anterior = 15
  • = frequência da classe seguinte = 21
  • = amplitude da classe = 9
Substituindo:

Passo 5

Calculando o Desvio Padrão
O desvio padrão mede a dispersão dos dados em relação à média. Vamos usar a fórmula para dados agrupados:
sigma = raiz sum f (m - x)^2N
Onde:
  • 85-94 = frequência
  • 95-104 = ponto médio da classe
  • 105-114 = média = 113
  • 115-124 = total de observações = 100
Primeiro, calculamos 125-134 para cada classe e depois multiplicamos pela frequência:
Classes Frequência Ponto Médio ( 135-144) 145-154 155-164 sigma = raiz 31,274.5100 = raiz312.745 approx 17.68
3 89.5 -23.5 552.25 1,656.75
11 99.5 -13.5 182.25 2,005.
15 109.5 -3.5 12.25 183.75
24 119.5 6.5 42.25 1,014
21 129.5 16.5 272.25 5,716.25
13 139.5 26.5 702.25 9,128.25
8 149.5 36.5 1,332.25 10,658
5 159.5 46.5 2,162.25 10,811.25
Total 100 31,274.5
Agora, aplicamos na fórmula:

Resposta

  • Média: 113
  • Mediana: 122.875
  • Moda: 121.75
  • Desvio Padrão: 17.68

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