Em uma determinada região ocorre em média 1 geada a cada 5 anos. Vamos definir X como sendo o número de geadas nos próximos 5 anos.
Qual é a probabilidade de ocorrência de no máximo 1 geada nos próximos 5 anos? (Resposta: 0,7358)

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. A gente sabe que, em média, ocorre 1 geada a cada 5 anos nessa região. Queremos descobrir a probabilidade de ter no máximo 1 geada nos próximos 5 anos. Para resolver isso, vamos usar a Distribuição de Poisson, que é ótima para calcular probabilidades de eventos que acontecem de forma aleatória em um intervalo de tempo fixo.

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar a taxa média de ocorrência, que é representada por lambda. No nosso caso, lambda = 1 geada a cada 5 anos.

Passo 3

A fórmula da Distribuição de Poisson é:
P(X = k) = lambda^k e^-lambdak!
onde:
  • P(X = k) é a probabilidade de ocorrer exatamente k geadas,
  • lambda é a taxa média de ocorrência,
  • e é a base do logaritmo natural (~2,71828),
  • k! é o fatorial de k.

Passo 4

Queremos calcular a probabilidade de ocorrer no máximo 1 geada, ou seja, P(X <= 1). Isso inclui:
  • A probabilidade de nenhuma geada ( k = 0),
  • A probabilidade de 1 geada ( k = 1).

Passo 5

Vamos calcular cada uma dessas probabilidades separadamente.
Para k = 0:
P(X = 0) = 1^0 e^-10! = 1 cdot e^-11 = e^-1 approx 0,3679
Para k = 1:
P(X = 1) = 1^1 e^-11! = 1 cdot e^-11 = e^-1 approx 0,3679

Passo 6

Agora, somamos as duas probabilidades para obter a probabilidade de ocorrer no máximo 1 geada:
P(X <= 1) = P(X = 0) + P(X = 1) = 0,3679 + 0,3679 = 0,7358

Resposta

A probabilidade de ocorrência de no máximo 1 geada nos próximos 5 anos é 0,7358.

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