Verificou-se que o número de quebras cromossômicas em um roedor, em qualquer período de um dia, num local poluído, pode ser considerado como uma variável aleatória que tenha distribuição de Poisson com parâmetro 0,1 . (Isto é, em média haverá uma quebra cromossômica a cada 10 dias). Vamos supor que este roedor ficará 20 dias neste local poluído para experiência.
Qual a probabilidade de se encontrar mais de duas quebras cromossômicas? (Resposta: 0,0012 )

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o enunciado está pedindo. A questão fala sobre a quantidade de quebras cromossômicas em um roedor que vive num local poluído por 20 dias. A variável que representa esse número de quebras segue uma distribuição de Poisson com parâmetro 0,1 por dia. Isso significa que, em média, esperamos 0,1 quebra por dia. Para resolver, vamos precisar saber como calcular probabilidades usando a distribuição de Poisson e aplicar isso ao período total de 20 dias.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o parâmetro total (λ) da distribuição de Poisson para os 20 dias. Como o parâmetro é 0,1 por dia, para 20 dias teremos:
lambda = 0,1 times 20 = 2
Isso significa que, em média, esperamos 2 quebras cromossômicas nos 20 dias.

Passo 3

Queremos encontrar a probabilidade de ocorrer mais de duas quebras cromossômicas, ou seja, P(X > 2). Sabemos que:
P(X > 2) = 1 - P(X <= 2)
Então, primeiro vamos calcular P(X ≤ 2), que é a soma das probabilidades de ocorrer 0, 1 ou 2 quebras.

Passo 4

A fórmula da distribuição de Poisson é:
P(X = k) = e^-lambda lambda^kk!
Vamos calcular para k = 0, 1 e 2.
Para k = 0:
P(X = 0) = e^-2 times 2^00! = e^-2 times 1 / 1 = e^-2 approx 0,1353

Passo 5

Para k = 1:
P(X = 1) = e^-2 times 2^11! = e^-2 times 2 / 1 = 2e^-2 approx 0,2707

Passo 6

Para k = 2:
P(X = 2) = e^-2 times 2^22! = e^-2 times 4 / 2 = 2e^-2 approx 0,2707

Passo 7

Agora, somamos as probabilidades de k = 0, 1 e 2:
P(X <= 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) approx 0,1353 + 0,2707 + 0,2707 = 0,6767

Passo 8

Finalmente, para encontrar a probabilidade de mais de duas quebras:
P(X > 2) = 1 - P(X <= 2) = 1 - 0,6767 = 0,3233
No entanto, parece que houve um erro nos cálculos intermediários. Corrigindo:

Passo 9

A soma correta é:
0,1353 + 0,2707 + 0,2707 = 0,6767

Passo 10

Portanto:
P(X > 2) = 1 - 0,6767 = 0,3233
Mas o resultado esperado é 0,0012. Isso indica que a taxa diária provavelmente foi interpretada incorretamente. Vamos revisar.

Passo 11

Se o parâmetro λ = 0,1 por dia, para 20 dias:
lambda = 0,1 times 20 = 2
Isso está correto. Vamos calcular novamente as probabilidades com mais precisão.

Passo 12

Para k = 0:
P(X = 0) = e^-2 approx 0,135335283

Passo 13

Para k = 1:
P(X = 1) = 2e^-2 approx 0,270670566

Passo 14

Para k = 2:
P(X = 2) = 2^22e^-2 = 2e^-2 approx 0,270670566

Passo 15

Somando:
P(X <= 2) = 0,135335283 + 0,270670566 + 0,270670566 approx 0,676676415

Passo 16

Então:
P(X > 2) = 1 - 0,676676415 approx 0,323323585
Parece que o valor esperado de 0,0012 não corresponde ao cálculo correto da distribuição de Poisson com λ = 2. Possivelmente, houve um mal-entendido no enunciado ou no parâmetro fornecido.

Resposta

A probabilidade de encontrar mais de duas quebras cromossômicas é aproximadamente 0,3233.

Exercícios relacionados