Uma amostra constituída de 12 medidas de tensão de ruptura de um fio de algodão apresentou a média de 7,38 kg e o desvio padrão de 1,24 kg. Determinar os limites de confiança, para a tensão de ruptura real, de: 95 %;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício onde coletamos 12 medidas da tensão de ruptura de um fio de algodão. A média dessas medidas é de e o desvio padrão é de . A tarefa é descobrir o intervalo de confiança de 95% para a tensão de ruptura real desse fio. Basicamente, vamos usar estatística, mais especificamente o conceito de intervalo de confiança, para estimar onde está o valor real da tensão com 95% de certeza.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que é um intervalo de confiança. Ele nos dá uma faixa de valores na qual temos uma certa confiança (neste caso, 95%) de que o valor real da média está dentro dessa faixa. Como a amostra é pequena (12 medidas) e não sabemos o desvio padrão da população, vamos usar a distribuição t de Student para calcular esse intervalo.

Passo 3

A fórmula para o intervalo de confiança usando a distribuição t é:
Média pm talpha/2 times ( Desvio Padrãoraizn ) éã
Onde:
  • é é a média da amostra ( ).
  • é o valor crítico da distribuiç��o t para o nível de confiança desejado e graus de liberdade ( ).
  • ã é o desvio padrão da amostra ( ).
  • é o tamanho da amostra (12).

Passo 4

Primeiro, vamos determinar os graus de liberdade, que é .
Agora, precisamos encontrar o valor crítico para um intervalo de confiança de 95% com 11 graus de liberdade. Consultando uma tabela t ou usando uma calculadora estatística, encontramos que .

Passo 5

Em seguida, vamos calcular o erro padrão da média, que é o desvio padrão dividido pela raiz quadrada do tamanho da amostra:
Erro Padrão = 1,24raiz12 approx 1,243,464 approx 0,358 , kg ã

Passo 6

Agora, multiplicamos o valor crítico t pelo erro padrão para encontrar a margem de erro:
Mar>=m de Erro = 2,201 times 0,358 approx 0,788 , kg

Passo 7

Finalmente, construímos o intervalo de confiança adicionando e subtraindo a margem de erro da média da amostra:
7,38 , kg - 0,788 , kg = 6,592 , kg
7,38 , kg + 0,788 , kg = 8,168 , kg

Resposta

O intervalo de confiança de 95% para a tensão de ruptura real do fio de algodão está entre aproximadamente e .

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