Uma amostra constituída de 12 medidas de tensão de ruptura de um fio de algodão apresentou a média de
e o desvio padrão de
. Determinar os limites de confiança, para a tensão de ruptura real, de:
;
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício onde coletamos 12 medidas da tensão de ruptura de um fio de algodão. A média dessas medidas é de
e o desvio padrão é de
. A tarefa é descobrir o intervalo de confiança de 95% para a tensão de ruptura real desse fio. Basicamente, vamos usar estatística, mais especificamente o conceito de intervalo de confiança, para estimar onde está o valor real da tensão com 95% de certeza.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que é um intervalo de confiança. Ele nos dá uma faixa de valores na qual temos uma certa confiança (neste caso, 95%) de que o valor real da média está dentro dessa faixa. Como a amostra é pequena (12 medidas) e não sabemos o desvio padrão da população, vamos usar a distribuição t de Student para calcular esse intervalo.
Passo 3
A fórmula para o intervalo de confiança usando a distribuição t é:
Onde:
-
é a média da amostra ( ). -
é o valor crítico da distribuiç��o t para o nível de confiança desejado e graus de liberdade ( ). -
é o desvio padrão da amostra ( ). -
é o tamanho da amostra (12).
Passo 4
Primeiro, vamos determinar os graus de liberdade, que é
.
Agora, precisamos encontrar o valor crítico
para um intervalo de confiança de 95% com 11 graus de liberdade. Consultando uma tabela t ou usando uma calculadora estatística, encontramos que
.
Passo 5
Em seguida, vamos calcular o erro padrão da média, que é o desvio padrão dividido pela raiz quadrada do tamanho da amostra:
Passo 6
Agora, multiplicamos o valor crítico t pelo erro padrão para encontrar a margem de erro:
Passo 7
Finalmente, construímos o intervalo de confiança adicionando e subtraindo a margem de erro da média da amostra:
Resposta
O intervalo de confiança de 95% para a tensão de ruptura real do fio de algodão está entre aproximadamente
e
.
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O peso médio de 500 estudantes do sexo masculino de uma universidade é
e o desvio padrão
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Use o grau de confiança e os dados amostrais indicados para achar o intervalo de confiança para o desvio-padrão populacional
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de confiança;
média
O peso médio de 500 estudantes do sexo masculino de uma universidade é
e o desvio padrão
. Admitindo-se que os pesos estão normalmente distribuídos e que as medidas foram realizadas com uma balança que registrou valores na escala de centésimos de quilogramas, determine quantos estudantes pesam: menos do que 64 kg