Uma amostra constituída de 12 medidas de tensão de ruptura de um fio de algodão apresentou a média de 7,38 kg e o desvio padrão de 1,24 kg. Determinar os limites de confiança, para a tensão de ruptura real, de: 99 %.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma questão de estatística onde precisamos encontrar os limites de confiança para a tensão de ruptura real de um fio de algodão. A matéria envolvida aqui é a Estatística Inferencial, especificamente Intervalos de Confiança. Para resolver isso, vamos precisar usar a média, o desvio padrão da amostra, o tamanho da amostra e a distribuição t de Student, já que nossa amostra é pequena.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um intervalo de confiança. Ele é uma faixa de valores que acredita-se que contenha o valor verdadeiro da média da população com um certo nível de confiança, no caso, 99%.

Passo 3

Como nossa amostra tem apenas 12 medidas (n = 12), que é menor que 30, a gente usa a distribuição t de Student para calcular o intervalo de confiança. Isso porque a distribuição t leva em conta a incerteza adicional de ter uma amostra pequena.

Passo 4

A fórmula para o intervalo de confiança usando a distribuição t é:
barx pm talpha/2 times sraizn
Onde:
  • barx é a média da amostra,
  • talpha/2 é o valor crítico da t para o nível de confiança desejado,
  • s é o desvio padrão da amostra,
  • n é o tamanho da amostra.

Passo 5

Vamos identificar os valores que temos:
  • Média da amostra, barx = 7,38 kg
  • Desvio padrão da amostra, s = 1,24 kg
  • Tamanho da amostra, n = 12
  • Nível de confiança, 99%

Passo 6

Primeiro, precisamos encontrar o valor crítico talpha/2. Como o nível de confiança é 99%, alpha = 1 - 0,99 = 0,01, então alpha/2 = 0,005. Com n - 1 = 11 graus de liberdade, consultamos uma tabela de distribuição t ou usamos uma calculadora para encontrar t0,005.

Passo 7

Consultando a tabela de distribuição t para 11 graus de liberdade e 99% de confiança, encontramos que t0,005 approx 3,106.

Passo 8

Agora, vamos calcular o erro padrão da média, que é sraizn:
1,24raiz12 approx 1,243,464 approx 0,358

Passo 9

Em seguida, calculamos a margem de erro, que é talpha/2 times sraizn:
3,106 times 0,358 approx 1,111

Passo 10

Por fim, aplicamos a fórmula do intervalo de confiança:
7,38 pm 1,111
Então, os limites de confiança são aproximadamente de 6,27 kg a 8,49 kg.

Resposta

O intervalo de confiança de 99 % para a tensão de ruptura real é de aproximadamente 6,27 , kg a 8,49 , kg.

Exercícios relacionados