Uma amostra constituída de 12 medidas de tensão de ruptura de um fio de algodão apresentou a média de e o desvio padrão de . Determinar os limites de confiança, para a tensão de ruptura real, de: .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma questão de estatística onde precisamos encontrar os limites de confiança para a tensão de ruptura real de um fio de algodão. A matéria envolvida aqui é a Estatística Inferencial, especificamente Intervalos de Confiança. Para resolver isso, vamos precisar usar a média, o desvio padrão da amostra, o tamanho da amostra e a distribuição t de Student, já que nossa amostra é pequena.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um intervalo de confiança. Ele é uma faixa de valores que acredita-se que contenha o valor verdadeiro da média da população com um certo nível de confiança, no caso, 99%.

Passo 3

Como nossa amostra tem apenas 12 medidas (n = 12), que é menor que 30, a gente usa a distribuição t de Student para calcular o intervalo de confiança. Isso porque a distribuição t leva em conta a incerteza adicional de ter uma amostra pequena.

Passo 4

A fórmula para o intervalo de confiança usando a distribuição t é:
Onde:
  • é a média da amostra,
  • é o valor crítico da t para o nível de confiança desejado,
  • é o desvio padrão da amostra,
  • é o tamanho da amostra.

Passo 5

Vamos identificar os valores que temos:
  • Média da amostra, kg
  • Desvio padrão da amostra, kg
  • Tamanho da amostra,
  • Nível de confiança,

Passo 6

Primeiro, precisamos encontrar o valor crítico . Como o nível de confiança é 99%, , então . Com graus de liberdade, consultamos uma tabela de distribuição t ou usamos uma calculadora para encontrar .

Passo 7

Consultando a tabela de distribuição t para 11 graus de liberdade e 99% de confiança, encontramos que .

Passo 8

Agora, vamos calcular o erro padrão da média, que é :

Passo 9

Em seguida, calculamos a margem de erro, que é :

Passo 10

Por fim, aplicamos a fórmula do intervalo de confiança:
Então, os limites de confiança são aproximadamente de kg a kg.

Resposta

O intervalo de confiança de 99 % para a tensão de ruptura real é de aproximadamente a .

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