Uma amostra constituída de 12 medidas de tensão de ruptura de um fio de algodão apresentou a média de
e o desvio padrão de
. Determinar os limites de confiança, para a tensão de ruptura real, de:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma questão de estatística onde precisamos encontrar os limites de confiança para a tensão de ruptura real de um fio de algodão. A matéria envolvida aqui é a Estatística Inferencial, especificamente Intervalos de Confiança. Para resolver isso, vamos precisar usar a média, o desvio padrão da amostra, o tamanho da amostra e a distribuição t de Student, já que nossa amostra é pequena.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um intervalo de confiança. Ele é uma faixa de valores que acredita-se que contenha o valor verdadeiro da média da população com um certo nível de confiança, no caso, 99%.
Passo 3
Como nossa amostra tem apenas 12 medidas (n = 12), que é menor que 30, a gente usa a distribuição t de Student para calcular o intervalo de confiança. Isso porque a distribuição t leva em conta a incerteza adicional de ter uma amostra pequena.
Passo 4
A fórmula para o intervalo de confiança usando a distribuição t é:
Onde:
-
é a média da amostra, -
é o valor crítico da t para o nível de confiança desejado, -
é o desvio padrão da amostra, -
é o tamanho da amostra.
Passo 5
Vamos identificar os valores que temos:
- Média da amostra,
kg - Desvio padrão da amostra,
kg - Tamanho da amostra,
- Nível de confiança,
Passo 6
Primeiro, precisamos encontrar o valor crítico
. Como o nível de confiança é 99%,
, então
. Com
graus de liberdade, consultamos uma tabela de distribuição t ou usamos uma calculadora para encontrar
.
Passo 7
Consultando a tabela de distribuição t para 11 graus de liberdade e 99% de confiança, encontramos que
.
Passo 8
Agora, vamos calcular o erro padrão da média, que é
:
Passo 9
Em seguida, calculamos a margem de erro, que é
:
Passo 10
Por fim, aplicamos a fórmula do intervalo de confiança:
Então, os limites de confiança são aproximadamente de
kg a
kg.
Resposta
O intervalo de confiança de 99 % para a tensão de ruptura real é de aproximadamente
a
.
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e o desvio padrão
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. Em cada caso, admita que a população tenha distribuição normal. notas de testes:
de confiança;
; média
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