Use o grau de confiança e os dados amostrais indicados para achar o intervalo de confiança para o desvio-padrão populacional sigma. Em cada caso, admita que a população tenha distribuição normal. notas de testes: 90 % de confiança; n=16; média =77,6 ; S=14,2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar o intervalo de confiança para o desvio-padrão populacional, que é representado por sigma. Para isso, vamos usar o conceito de intervalo de confiança baseado na distribuição qui-quadrado, já que a população é normal. Os dados que temos são: nível de confiança de 90%, tamanho da amostra n=16, média da amostra 77,6 e desvio-padrão amostral S=14,2.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar que para encontrar o intervalo de confiança para o desvio-padrão, usamos a distribuição qui-quadrado ( chi^2). A fórmula geral para o intervalo de confiança para a variância ( sigma^2) é:
( (n-1)S^2chi^2alpha/2, (n-1)S^2chi^21-alpha/2 )
Aqui, alpha é o nível de significância, que é 1 - confiançaç. Como a confiança é 90%, então alpha = 0,10.

Passo 3

Vamos calcular alpha/2 e 1 - alpha/2:
alpha/2 = 0,05 e 1 - alpha/2 = 0,95
Agora, precisamos encontrar os valores críticos da distribuição qui-quadrado para esses percentis com n-1 graus de liberdade. Como n=16, então df = 15.

Passo 4

Consultando uma tabela de distribuição qui-quadrado ou usando uma calculadora, encontramos:
chi^20,05,15 approx 6,262 e chi^20,95,15 approx 27,488

Passo 5

Agora, vamos substituir esses valores na fórmula do intervalo de confiança para a variância:
( (16-1)(14,2)^227,488, (16-1)(14,2)^26,262 )
Calculando o numerador:
15 times (14,2)^2 = 15 times 201,64 = 3024,6

Passo 6

Dividindo pelos valores críticos:
Limite Inferior = 3024,627,488 approx 110,10
Limite Superior = 3024,66,262 approx 482,64

Passo 7

Como queremos o intervalo de confiança para o desvio-padrão sigma, vamos tirar a raiz quadrada dos limites do intervalo para a variância:
raiz110,10 approx 10,49
raiz482,64 approx 21,96

Resposta

O intervalo de confiança de 90% para o desvio-padrão populacional sigma é aproximadamente entre 10,49 e 21,96.

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